Likning med to ukjente- Løst av Nebuchadnezzar :)

[modasser]

Hei,
Jeg sitter her med en likning med to ukjente og har holdt på med å løse det i snart ca 2 timer uten å lykkes.

Jeg vet hvordan man løser likninger med to ukjente, men når jeg prøver å løse denne blir det så masse kluss pga. eulertallet.

Kan noen vennligst vise hvordan man løser følgende likning med to ukjente? :

1.
[tex]xe^{2-\sqrt{5}}+ye^{2+\sqrt{5}}=2[/tex]

2.
[tex]xe^{2-\sqrt{5}} (2-\sqrt{5})+ye^{2+\sqrt{5}} (2+\sqrt{5})=-1[/tex]

Kan noen vise step by step til å gi svaret for x og y ?

[Nebuchadnezzar]

Tja.. Jeg er skikkelig lat, så det første jeg liker å gjøre er å fjerne alt som er vanskelig.
Definerer først $\varphi = 2 + \sqrt{5}$ og $\psi = 2 - \sqrt{5}$, da jeg foretrekker greske bokstaver
over både lange uttrykk, ting som gjentar seg og røtter. Men vi er ikke helt ferdige enda,
jeg definerer så nye variabler $X = x e^\varphi$ og $Y = y e^\psi$. Likningsystemet blir nå

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
\phantom{\varphi}X + \phantom{\psi}Y & = \phantom{-}2 \qquad \qquad (1)\\
\varphi X + \psi Y & = -1 \qquad \qquad (2)
\end{align*}
$

Denne er simpel å løse, gang for eksempel $(1)$ med $-\psi$ og legg sammen $(1)+(2)$
for å finne $X$. Tilsvarende for å finne $Y$ ganger du likning $(1)$ med $-\varphi$,
eller setter inn for $X$ i $(1)$. Tilslutt så er jo $y = Ye^{-\psi}$ og $x = X e^{-\varphi}$.

Er denne måten å løse likninger på helt ukjent for deg? (Bare lurer siden jeg snart skal undervise
og virker som en del eleverhar problemer med likningssystemer).

Merk at det ikke er nødvendig og innføre hjelpevariablene, men de kan gjøre føringen - om ikke kortere - mer oversiktlig.

[modasser]

Nei, slike likningssystemer er ikke ukjent for meg, disse lærer man på vgs nivå. Problemet var at det ble så lange uttrykk å regne på. Men nå ser jeg at hjelpevariablene gjør det mye enklere og oversiktelig. Skal gjøre et forsøk med slik du har vist. Tror det går i boks nå. Tusen hjertelig takk! Og lykke til med undervisningen av elever. Lurt å undervise vgs nivå, hvis noen på hio eller uio sliter med det, slik at de kommer seg videre, etter å ha skjønt den enkle løsningsmetoden av å løse likningssett med 2 ukjente.

[modasser]

når jeg bruker din metode får jeg:

x=[tex]x=\frac{24-7\sqrt{5}}{e^{2-\sqrt{5}}}[/tex]

og

y=[tex]\frac{\frac{-27}{10+4\sqrt{5}}}{e^{2+\sqrt{5}}}[/tex]

Men fasiten gir et helt annet svar.

Så hvordan kommer man i mål med dette?

[Nebuchadnezzar]

Kom just hjem fra byen. Gjorde det raskt i maple og fikk det her

http://i.imgur.com/4vyKqcZ.png

For eksempel for $X$ så er

$ \hspace{1cm}
X = - \frac{1 + 2\psi}{\varphi - \psi}
= \frac{1 + 2(2 - \sqrt{5})}{2\sqrt{5}}
= \frac{1}{2}\frac{5}{\sqrt{5}} - \frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}
= \frac{1}{2}\sqrt{5} - 1
$

Siden $\varphi - \psi = (2+\sqrt{5}) - (2-\sqrt{5}) = 2\sqrt{5}$. Herfra ganger vi med $e^{-\varphi} = e^{-2-\sqrt{5}}$.

Pass bedre på algebraen din. Jeg kan godt vise deg fremgangsmåten men jeg gidder ikke
sitte barnevakt og passe på at du klarer alle mellomregningene når du går på universitetet

[modasser]

hehe, skjønner, jeg hadde satt pris på om De kunne vist meg fremgangsmåten. Kunne De det?

[Nebuchadnezzar]

Løsning av likningsett med to ukjente burde virkelig sitte =)

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
\phantom{\varphi}X + \phantom{\psi}Y & = \phantom{-}2 \qquad \qquad (1)\\
\varphi X + \psi Y & = -1 \qquad \qquad (2)
\end{align*}
$
$\underline{\hspace{ 3 in}}\\$
$ \hspace{0.6cm}
\begin{align*}
-\psi X - \psi Y & = - 2\psi \qquad \quad \: \, (1)\\
\varphi X + \psi Y & = -1 \qquad \qquad (2)
\end{align*}
$

Legger en sammen likningene får en

$ \hspace{1cm}
(\varphi - \psi)X = -( 2\psi + 1)
\quad \Rightarrow \quad
X = - \frac{2\psi + 1}{\varphi - \psi}
$

Som var det som skulle vises. Fra øverste likning så er $Y = 2 - X$.

[modasser]

Fantastisk, gledelig jul Nebuchadnezzar !