Løsing av sumformel - geometrisk rekke

[MatteS2eksamen]

Hei! Er det noen som vet hvordan jeg kan løse dette stykket ved regning?

100 000 * 1,045^n + 12 000 * 1,045 * (1,045^n-1)/(1,045-1) = 200 000

[Lektorn]

Faktoriser ut $1,045^n$ og divider/multipliser slik at dette blir eneste ledd på venstre side.
Resten er standard løsning av eksponentiallikning med lg eller ln.

[Nebuchadnezzar]

Merk at det ikke er veldig relevant og løse slike likninger for hånd. På en eventuell
eksamen ville du plottet høyre og venstre side (for eksempel i geogebra) og funnet svaret grafisk..

Anta at du er strandet på en øde ø med ekstrem interesse for geometriske rekker og renter på kokosnøtter..
Da kan det være en ide å først innføre en rekke hjelpestørrelser, slik at en ikke går seg bort
i algebra-jungelen. Vi definerer følgende

$ \hspace{1cm}
a = 10^5\ , \quad
b = 12 \cdot 10^3 \ , \quad
r = 1.045 \ , \quad
x = r^n
$

Merk spesielt at $x = r^n$. Da kan likningen vår skrives som følger

$a \cdot x + b \cdot r \frac{x-1}{r-1} = 2a$

Hvor målet nå "selvsagt" blir å løse likningen med hensyn på $x$ for å finne kokosnøtt-rentesatsene våre.
Flere algebraiske krumspring (begynn for eksempel med å gang med $r-1$) leder til følgende likning

$ \hspace{1cm}
x = \frac{2a \cdot (r-1)+b\cdot r}{(a+b) \cdot r-a}
$

Herfra kan en sette inn definisjonen av $x$ for å finne $n$. Ved å sette inn de respektive tallene våre kan en skrive

$ \hspace{1cm}
n = \frac{\log(1+75/284)} {\log(1+9/200)} \sim \frac{75}{284} \cdot \frac{200}{9} = 5+\frac{185}{213}
$

Altså noe mer enn $5$ banan-år, regntider eller hvilken vilkrålig intervalenhet en bruker på den forlatte øyen. Merk at
alle mellomregningene overlates til deg. For å få noe særlig ut av svaret må du sette deg ned å prøve selv. Står
du fast er det bare å spørre om hjelp.

I aller siste overgang ble det kun bruk at $\log(1+x) \sim x$ når $|x|\ll 1$ og at $\frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$.