matematikk.net

Hei. Har en funksjon [tex]f(x) = \frac {x^{3} + 1} {x^{2}-1}[/tex]

Skal bl.a vise at [tex]f'(x) = 1 - \frac{1}{(x-1)^{2}}[/tex]

jeg valgte å forenkle brøken litt, ved å først faktorisere [tex]x^{3} +1 = (x+1)(x^{2} -x +1)[/tex] og nevner til [tex](x+1)(x-1)[/tex] og deretter "stryke" x+1 mot x+1.

slik går det når jeg deriverer:

[tex]f'(x) = \frac {(2x-1)(x-1) - (x^{2} -x + 1)*(1)} {(x-1)^{2}} =[/tex]


[tex]\frac {2x^{2} - 2x -x + 1 - x^{2} + x - 1} {(x-1)^{2}} =[/tex]

[tex]\frac{x^{2} - 2x}{(x-1)^{2}} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^{2}}[/tex]

og spørsmålet mitt er da, hvordan blir dette til [tex]f'(x) = 1 - \frac{1}{(x-1)^{2}}[/tex] ? det forstår jeg ikke. så vidt jeg kan huske i farta(holdt på med denne istad) så ble ikke grafen engang den samme.

Se på venstresiden i ligningen du har til slutt. Merk at [tex](x-1)^2 = x^2 - 2x + 1[/tex] (kvadratsetning). Snur vi litt på den, har vi at [tex]x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1[/tex]. Hva skjer om du benytter dette til å skrive om telleren?

aha! Jeg ser det nå.

[tex]\frac {x^{2}-2x}{(x-1)^{2}} = \frac{x^{2}-2x + 1 - 1}{(x-1)^{2}} = \frac{(x-1)^{2}-1}{(x-1)^{2}} = \frac{(x-1)^{2}}{(x-1)^{2}} - \frac{1}{(x-1)^{2}} = 1 - \frac{1}{(x-1)^{2}}[/tex]

så lurt! men det ville jeg aldri tenkt på. hvertfall ikke før nå. gud så endeløst mange ting man skal være ops på da ^_^.

uansett. Takk for hjelpen!

edit: tar for øvrig tilbake det jeg sa om at grafene var ulike. selvfølgelig bare jeg som har surret.

Du kunne og ha forenklet før derivasjonen, som kanskje er noe enklere?

$ \hspace{1cm}
f(x) = \frac{x^3+1}{x^2-1}
= \frac{x^2 -x + 1}{x - 1}
= \frac{x(x-1) + 1}{x-1}
$

Regner med du tar resten herfra? =)