sitter fast med oppgaven
En funksjon f tar verdien −10 i x=0. Videre er den n te deriverte av f i x=0 gitt ved
[tex]f^{n}=4\frac{n!}{4^n}[/tex]
for n≥1. For eksempel er stigningstallet til f i x=0 lik 4/4. Det er gitt at f er analytisk på intervallet (−4,4), altså at f er lik sin Maclaurin-rekke (Taylor-rekke om 0) på dette intervallet. Hva er f(1.5)?
takk *
potensrekke
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Christianac
- Pytagoras
- Innlegg: 13
- Registrert: 23/05-2011 12:16
Hele hintet her ligger i "altså at f er lik sin Maclaurin-rekke (Taylor-rekke om 0) på dette intervallet". Hvordan ser en Maclaurin-rekke ut? Jo:
[tex]\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{f^n(0)}{n!}x^n[/tex].
Men [tex]f^n(0)[/tex] har vi jo oppgitt i oppgaven (legg spesielt merke til "den n te deriverte av f i x=0 gitt ved...").
Setter inn i Maclaurin-rekka:
[tex]\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{4\frac{n!}{4^n}}{n!}x^n = \sum\limits_{n=1}^\infty 4 \Big ( \frac{x}{4} \Big ) ^n[/tex] Som igjen gjennkjennes som en uendelig, konvergent geometrisk rekke for [tex]x \in (-4,4)[/tex].
Summen av rekka blir da:
[tex]\frac{a}{1-r} = \frac{4}{1-x/4} = \frac{16}{4-x}[/tex]
Altså er [tex]f(x)= \frac{16}{4-x} \forall x \in (-4,4)[/tex] og da burde det være en smal sak å finne [tex]f(1.5)[/tex]
[tex]\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{f^n(0)}{n!}x^n[/tex].
Men [tex]f^n(0)[/tex] har vi jo oppgitt i oppgaven (legg spesielt merke til "den n te deriverte av f i x=0 gitt ved...").
Setter inn i Maclaurin-rekka:
[tex]\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{4\frac{n!}{4^n}}{n!}x^n = \sum\limits_{n=1}^\infty 4 \Big ( \frac{x}{4} \Big ) ^n[/tex] Som igjen gjennkjennes som en uendelig, konvergent geometrisk rekke for [tex]x \in (-4,4)[/tex].
Summen av rekka blir da:
[tex]\frac{a}{1-r} = \frac{4}{1-x/4} = \frac{16}{4-x}[/tex]
Altså er [tex]f(x)= \frac{16}{4-x} \forall x \in (-4,4)[/tex] og da burde det være en smal sak å finne [tex]f(1.5)[/tex]