Er vel bare å behandle det som en differenslikning, eller med andre ord en difflikning. Står mer på nettet.
Vi har at U stiger $2\percent$ fra år til år altså har vi at fra år $x$ til år $x+1$ så vil den stige $1.02$ med andre ord
$U(x+1) = U(x) \cdot 1.02$ (en pirkete sur matematikker vile nok brukt notasjonen $u_{x+1} = u_{x} \cdot 1.02$ for å understreke at dette er en differenslikning)
Veldig grovt, og med mye armvifting kan en gjøre det som følger
$ \hspace{1cm}
U(x+1) = U(x) \cdot 1.02 = U(x-1) \cdot 1.02^2 = U(x-2) \cdot 1.02^3 = \cdots = U(x-x) \cdot 1.02^{x+1} =1.02^{x+1}
$
Hvor en så helt bort i fra konvergenstesting og slikt. For en nøyere innføring se fra side 18 her
http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... ndium2.pdf. Altså siden $u_{x+1} = u_{x}\cdot 1.02 $ betyr dette at $u_y = u_{y-1} \cdot 1.02$, ved å sette inn $x=y-1$. Altså er $u_{x+1} = u_{x} \cdot 1.02 = (u_{x-1} \cdot 1.02)1.02 = u_{x-1} \cdot 1.02^2$. Slik kan en fortsette til en går lei.
Tillegg: Merk at det ikke er noe vanskelig å finne et nøyaktig svar heller. La $a = 1.006$ og $b = 1.02$ vi har da
at $u_n = 125 \cdot (ab)^n$. Den totale summen blir altså
$
S_n
= \sum_{k=1}^n u_k
= -125 + 125 \sum_{k=0}^n (ab)^k
= 125 \left( - 1 + \frac{ (ab)^{n+1}-1) }{ a b-1} \right)
= 125 ab \cdot \frac{ (ab)^{n} - 1 }{ab - 1}
$
Hvor vi brukte at $\sum_0^{n} r^n = \frac{r^{n+1} - 1}{r - 1}$. Som burde være kjent? Uansett ved å sette inn verdiene for $a$, $b$ og $n = 2 \cdot 12$ fås
$
S_{24} \approx 4207.207503
$
Integral-tilnærimgen er altså ikke halv-gærn.
Vi har ikke hatt om diff. likninger i R2 ennå. Jeg tror det er mot slutten av kurset.