matematikk.net

Denne skal skrives på eksponentiel form med komplekse tall.
Hvordan er framgangsmåten?

2x^4 - 5x^2 + 10x-2 = 0

Anta at vi kan skrive

$ \hspace{1cm}
2x^4 - 5x^2 + 10x - 2 = (x^2 + ax + 2)(2x^2 + bx - 1)
$

Her skulle vi antatt $(ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f)$, men gjorde noen naturlige forenklinger.
Først at eneste måte å få $2x^4$ på er å gange sammen $ax^2$ og $dx^2$, det er derfor
naturlig å la $a=1$ og $d=2$ (en kunne og ha satt $d=1$ og $a=2$, men en ville da fått små
problemer i den videre utregningen). Tilsvarende er eneste måte å få en konstan på å gange
sammen $c \cdot f$. Altså er $-2 = f \cdot c$. Samme som før velger vi "tilfeldigvis" $c=2$ og $f=-1$.

For å bestemme $a$ og $b$ kan en enten gange ut høyresiden og sammenlikne koeffisienter,
eller så kan en sette inn to enkle $x$-verdier slik at en får to likninger med to ukjente.

$ \hspace{1cm}
2x^4 - 5x^2 + 10x - 2 = (x^2 - 2x + 2)(2x^2 + 4x - 1)
$

Herfra vet du at dersom $n \cdot m = 0$ så må enten $n = 0$ eller $m = 0$.
For å finne røttene løser du bare $x^2 - 2x + 2=0$ og $2x^2 + 4x - 1=0$.

Jeg regner med du vet hvordan du skriver om disse røttene til eksponensiell-form?

Supert Tusen takk!