matematikk.net

Hei, jeg har en oppgave som lyder slik: Bård har en bakterieinfeksjon og tar tabletter som inneholder antibiotika
* I hver tablett er det 200 mg antibiotika
* I løpet av en time reduseres mengden antibiotika med 10%
* Bård tar en tablett hver sjette time
*Største forsvarlige kroppsdose for dette antibiotikumet er satt til 1g.

Hvor mye antibiotika har Bård i kroppen sin rett etter at han har tatt sin andre tablett?

Jeg tenker slik: 200*0.9^6 = 106.2882. Da har tabletten blitt redusert etter 6 timer, men så må man plusse på 200mg som er den nye tabletten han tar inn. Derfor 106+200 = 306mg. Er dette riktig?

Undersøk om tablettkuren Bård står på, er forsvarlig.

Jeg ser at 200*0.9^6 = 106 + 200 = 306 * 0.9^6 = 162 + 200 = 362. Det flater ut etterhvert. Er det noe formel jeg kan bruke her?

Takker for svar!

Noen synspunkter?

106,3 og derfor 306,3 er riktig.

Det blir ikke noen geometrisk rekke, men du klarer vel å uttrykke det med en formel. Det er kanskje lettest å se på innholdet i kroppen rett før han tar en ny tablett, så grensen for max-verdi må settes ned med 200 mg.
En måte å skrive det på er $a_0 = 0$ og $a_n = (a_{n-1} + 200) \cdot 0,9^6$

Anonym00 wrote:Noen synspunkter?

Ja!
Det som fikk meg på idéen om hvordan man skal løse denne oppgaven er:
[tex]1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... = 2[/tex]
Dette vet du kanskje hvis dere jobber med geometriske rekker.

Derfor vet jeg at om verdiene hans hadde blitt halvert hver 6. time ville hans blodverdier være:
200 + 100 + 50 + 25 + 12,5 + ... = 400ml etter uendelig mange timer.

Nå er vi ikke så heldige at blodverdiene sank med 50 % etter 6 timer. Vi må derfor være litt lure!

Blodverdiene sank i hvert fall med mer enn 25%, så la oss se hva som skjer hvis de synker med 25%. Hvis de ikke når 1000mg selv med 25% reduksjon, vil vi være trygge med vår reduksjon som jo nesten var 50%.


[tex]S = 200 + 200\cdot (\frac{3}{4}) + 200\cdot (\frac{3}{4})^{2} + 200\cdot (\frac{3}{4})^{3} + ...[/tex]

[tex]\frac{3}{4}S = 200\cdot \frac{3}{4} + 200\cdot (\frac{3}{4})^{2} + 200\cdot (\frac{3}{4})^{3} + 200\cdot (\frac{3}{4})^{4} + ...[/tex]

Hvis vi nå regner ut [tex]S - \frac{3}{4}S[/tex] ser vi at nesten alle leddene kan slettes mot hverandre! Vi sitter bare igjen med 200 fra den øverste summen!
[tex]\frac{1}{4}S[/tex] må derfor være 200
Og da ser vi at S = 800, noe som er mindre enn 1000.
Kuren vil derfor være sunn, selv om han tar piller hver 6. time resten av livet!

Matte er ikke så lett å forklare skriftlig. Si ifra om det er noe som var uklart!


Ivan