matematikk.net

Hvordan løses ligningen e^(2x) + 5^x = 10 ? Med hensyn til x?

Ikke mulig å løse eksakt. Men en kan gå frem på følgende måte
definer $f(x)=e^{2x}+5^x-10$.

1. Finn to tall $a$,$b$ slik at $f(a)<0$, $f(b)>0$ vis at $f'(x)>0$ når $x\in(a,b]$.

Punkt 1 viser at $f$ har nøyaktig ett nullpunkt i intervalet $x \in [a,b]$.

2. Skriv om likningen din til følgende

$ \hspace{1cm}
x = \frac{1}{2}\log\left( 10 - 5^x\right)
$

Deretter kan du velge en startverdi på kalkulatoren din. Skriv altså inn ett "vilkårlig" tall $x_0$ hvor $a \leq x_0 \leq b$.

Skriv deretter inn

$ \hspace{1cm}
\textrm{ 0.5 * ln( 10 - 5^ans)}
$

på kalkulatoren din og hamre løs på $\textrm{=}$ knappen ett par ganger. Verdien burde da raskt
gå mot verdien for nullpunktet. Grunnen til at dette fungerer har med punkt 1 og gjøre
+ samt litt matematikk som viser at nullpunktet er en kontraksjon, samt at vi har Lipshitz-konvergens.

e^(2x) + 5^x = 10 --> setter på ln (velger ln pga. e)
<=> 2xlne+xln5=ln10 -->slår sammen xln uttrykket
<=>xln(e^2*5)=ln10 -->Deler, for å få x alene på 1 side
<=>x=ln10/ln(e^2*5) --> regner ut ln(e^2*5)
<=>x=ln10/2ln5
<=>x=ln10/ln25

Reignors wrote:e^(2x) + 5^x = 10 --> setter på ln (velger ln pga. e)
<=> 2xlne+xln5=ln10 -->slår sammen xln uttrykket
<=>xln(e^2*5)=ln10 -->Deler, for å få x alene på 1 side
<=>x=ln10/ln(e^2*5) --> regner ut ln(e^2*5)
<=>x=ln10/2ln5
<=>x=ln10/ln25

Feil ved første overgang. $\ln(...)$ er en funksjon, ikke en faktor, og ikke alle funksjoner er distributive.