Anvendelse av derivasjon

[pi-ra]

oppg.png (102.16 KiB) Viewed 2371 times

Øverst ser dere oppgavebeskrivelsen etterfulgt av løsningsforslaget.

Hvorfor har de brukt at [tex]tan \theta = \frac{h}{90}[/tex], isteden for å bare skrive inn verdiene vi har fått oppgitt, slik: [tex]h = tan45*90[/tex]?
Tydelig at det ikke gir riktig svar, men hva er begrunnelsen til at man bare ikke kan sette inn verdiene, men må derivere først?


Hvorfor kunne man ikke brukt at tan 45 * 90 = 90 m. Og videre bruke det til å finne den deriverte av h, ved å ta i bruk pytagoras setning?

Takknemlig for alle svar.

[ThomasSkas]

Først vil jeg påpeke at dette er over mitt nivå, men kanskje jeg kan bidra?

Det første som fanger mitt blikk i oppgaven i forbindelse med derivasjon, er at det spørres etter med hvilken fart stiger ballongen med når teta er lik 45 grader og teta øker med en grad per sekund. Når eg leser vekst, økning og nedgang så tenker jeg alltid derivasjon, fordi det omfatter vekst osv. Det er slik jeg tenker på mitt nivå ihvertfall. Kanskje en god tanke for den oppgaven også? Ville bare bidra.

[pi-ra]

Først vil jeg påpeke at dette er over mitt nivå, men kanskje jeg kan bidra?

Det første som fanger mitt blikk i oppgaven i forbindelse med derivasjon, er at det spørres etter med hvilken fart stiger ballongen med når teta er lik 45 grader og teta øker med en grad per sekund. Når eg leser vekst, økning og nedgang så tenker jeg alltid derivasjon, fordi det omfatter vekst osv. Det er slik jeg tenker på mitt nivå ihvertfall. Kanskje en god tanke for den oppgaven også? Ville bare bidra.

Ja, hadde i bakhodet at jeg måtte derivere på en eller annen måte som du sier, men bare skjønte ikke hvorfor det skulle gjøres på den måten..
Men absolutt, takker for innspillet!

[Andreas345]

http://en.wikipedia.org/wiki/Related_rates

The most common way to approach related rates problems is the following:

Identify the known variables, including rates of change and the rate of change that is to be found. (Drawing a picture or representation of the problem can help to keep everything in order)

Construct an equation relating the quantities whose rates of change are known to the quantity whose rate of change is to be found.

Differentiate both sides of the equation with respect to time (or other rate of change). Often, the chain rule is employed at this step.

Substitute the known rates of change and the known quantities into the equation.

Solve for the wanted rate of change.

Errors in this procedure are often caused by plugging in the known values for the variables before (rather than after) finding the derivative with respect to time. Doing so will yield an incorrect result, since if those values are substituted for the variables before differentiation, those variables will become constants; and when the equation is differentiated, zeroes appear in places of all variables for which the values were plugged in.

[robinboy]

Hvorfor kunne man ikke brukt at tan 45 * 90 = 90 m. Og videre bruke det til å finne den deriverte av h, ved å ta i bruk pytagoras setning?

Hei!
Hvis du setter at tan 45*90 = 90 så finner du høyden nå. Men vet ingenting om hvor fort høyden vokser. Jeg skjønner derfor ikke hvordan du har tenkt å finne den deriverte og dermed farten ved å bruke pytagoras setning.

Vi vet at høyden kan regnes ut som en funksjon av theta:
[tex]h(\theta) = 90\cdot tan\theta[/tex]
Det vi vil finne er farten til høyden akkurat nå. Dette er den deriverte av høyden som funksjon av tiden h´(t) eller [tex]\frac{\mathrm{d} h }{\mathrm{d} t }[/tex]

Denne kjenner vi desverre ikke, men vi vet ihvertfall den deriverte av høyden som en funksjon av theta:
[tex]{h}'(\theta) = \frac{90}{cos^2x}[/tex] dette kan også skrives [tex]\frac{\mathrm{d} h }{\mathrm{d} \theta }[/tex]

Vi vet også den deriverte av theta som en funksjon av tiden akkurat i det vinkelen er [tex]\frac{\pi }{4}[/tex] (45 grader)

[tex]\theta{}'(\frac{\pi }{4}) =1^{\circ}/s=\frac{2\Pi }{360} /s[/tex] dette kalles også [tex]\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t }[/tex]

ganger vi disse med hverandre ser det ut som vi får det vi er på jakt etter:(Her kan det hende jeg tar noen snarveier)
[tex]\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t } \cdot \frac{\mathrm{d} h }{\mathrm{d} \theta } = \frac{\mathrm{d} h }{\mathrm{d} t }[/tex]
[tex]\frac{\mathrm{d} h }{\mathrm{d} t } = \frac{90m}{cos^2(\frac{\pi }{4})} \cdot \frac{2\Pi }{360} /s = \frac{90m}{\frac{1}{2} } \cdot \frac{2\Pi }{360} /s = \pi m/s[/tex]