matematikk.net

Hei, jeg har satt meg fast på en oppgave med Lagrange. Eller for å si det sånn - mine svar er ikke like som fasiten så jeg kan jo si at fasiten tar feil eller kanskje noen kan motbevise det?

Her er informasjonen som er gitt i oppgaven, jeg gir infoen som står ved starten av oppgaven og så det spørsmålet jeg sitter fast på:

Kostnadsfunksjon til en bedrift er gitt ved C(z)=z^2+35z+144
Her er z antall produserte enheter av en vare.

Bedriften selger varer på to ulike markeder, marked A og marked B. Kall etterspørselen etter varen på de to markedene for hhv. x og y.

Sammenhengen mellom etterspørselen x og prisen p på marked A er p=150-0.5x Prisen q på marked B er q=140
Kostnadsfunksjonen er K(x,y)=(x+y)^2+35(x+y)+144

Oppgaven lyder;
"Bedriften ønsker å selge tre ganger så mye på marked A som på marked B. Hvor mye må bedriften selge på de to markedene dersom den ønsker å maksimere overskuddet. BENYTT lagrangemultiplikatorer!"

Fasit svar er x = 32.9268 og y=10.9756

Om noen kan vise meg utregningen på dette hadde jeg satt stor pris på det!

Inntekten I(x,y) av salget blir

I(x,y) = x(150 - 0,5x) + 140y = -0,5x[sup]2[/sup] + 150x + 140y.

Dermed blir overskuddet

O(x,y)
= I(x,y) - K(x,y)
= -0,5x[sup]2[/sup] + 150x + 140y - (x[sup]2[/sup] + 2xy + y[sup]2[/sup] + 35x + 35y + 144)
= -1,5x[sup]2[/sup] - 2xy - y[sup]2[/sup] + 115x + 105y - 144.

Anvender du nå Lagrangemultiplikatorer, vil du (forhåpentligvis) komme fram til at

x = 1350/41 og y = 450/41.

Så langt har jeg kommet også;

O(x,y)
= I(x,y) - K(x,y)
= -0,5x2 + 150x + 140y - (x2 + 2xy + y2 + 35x + 35y + 144)
= -1,5x2 - 2xy - y2 + 115x + 105y - 144.

Men jeg tror min bibetingelse som jeg skal sette opp for "Bedriften ønsker å selge tre ganger så mye på marked A som på marked B. Hvor mye må bedriften selge på de to markedene dersom den ønsker å maksimere overskuddet." er feil.....

Jeg har prøvd meg med x=3y og det blir helt feil. Kan du fortelle meg hva for en bibetingelse du bruker? Lagrange metoden er enkel så lenge jeg har bibetingelsen riktig.

Takk for hjelpen så langt!

Bibetingelsen kan utledes av utsagnet

"Bedriften ønsker å selge tre ganger så mye på marked A som på marked B".

Siden x og y er hhv. antall enheter som blir solgt på marked A og marked B, innebærer dette utsagnet at x=3y. En indikasjon på dette er den riktige bibetingelsen, er fasitsvaret x = 32.9268 og y=10.9756 som gir x/y=3. Så bibetingelsen blir

P(x,y) = x - 3y = 0.

Vha. av Lagrangemultiplikatorer får vi likningene

(1) [part][/part]O/[part][/part]x = -3x - 2y + 115 = λ = [part][/part]P/[part][/part]x,

(2) [part][/part]O/[part][/part]y = -2x - 2y + 105 = -3λ = [part][/part]P/[part][/part]y.

Multipliserer vi (1) med -3 og (2) med -1, blir resultatet

(3) 9x + 6y - 345 = -3λ

(4) 2x + 2y - 105 = 3λ


Summerer vi (3) og (4), får vi

11x + 8y - 450 = 0

11[sub]*[/sub](3y) + 8y = 450 (Bruker bibetingelsen x=3y)

33y + 8y = 450

41y = 450

y = 450/41 ≈ 10,9756

x = 3y = 3[sub]*[/sub]450/41 = 1350/41 ≈32,9268.

Så enkelt var det ja - jeg hadde en feil utregning..og da ble ikke svaret riktig.

TUSEN TAKK for hjelpen!!