matematikk.net

Hei sann!
Jeg holder på med summasjon av rekker, men det er noe jeg virkelig ikke forstår.

Jeg holder på med en del av en oppgave og det stopper opp på følgende stykke:

[tex]a_{i}=\frac{1}{i^2}-\frac{1}{(i+1)^2}[/tex]

Vis at summen av de n første leddene er gitt ved

[tex]S_{n}=1-\frac{1}{(n+1)^2}[/tex]

Jeg skjønte så pass at det skal kunne skrives slik?

[tex]\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{i^2}-\frac{1}{(i+1)^2})[/tex]

Når jeg slår dette inn på kalkulatoren så får jeg svaret som står i oppgaveteksten. Men når jeg prøver dette ved regning, noe jeg selv ønsker, så får jeg det ikke til. Det jeg gjorde først var å sette inn i = 1 og i = n også summere og faktorisere osv. Dette blir selvfølgelig feil, for det er jo gjerne slik at summasjonstegnet betegner fra og med nedre tall til og med øvre tall, så her må det summeres med tall i mellom 1 og n. Men jeg trenger veiledning.

Noen?

[tex]1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+...[/tex]

Ser 1 står igjen i [tex]a_n-1[/tex], og vi ser sammenhengen mellom siste del av [tex]a_n-1[/tex] og starten på [tex]a_n[/tex]
vil bli lik 0, og vi ser på siste del av [tex]a_n[/tex] er [tex]-\frac{1}{(n+1)^2}[/tex] som står igjen som dermed gir summen for rekka:

[tex]S_n[/tex]=1[tex]-\frac{1}{(n+1)^2}[/tex]

Tror jeg...
Edit: skifta litt tall ¯\_(ツ)_/¯

FAB wrote:[tex]1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}+...[/tex]

Ser 1 står igjen i [tex]a_n-1[/tex], og vi ser sammenhengen mellom siste del av [tex]a_n-1[/tex] og starten på [tex]a_n[/tex]
vil bli lik 0, og vi ser på siste del av [tex]a_n[/tex] er [tex]-\frac{1}{(n+1)^2}[/tex] som står igjen som dermed gir summen for rekka:

[tex]S_n[/tex]=1[tex]-\frac{1}{(n+1)^2}[/tex]

Tror jeg...
Edit: skifta litt tall ¯\_(ツ)_/¯

Jeg forstod ikke det der, dessverre.

Hvis du prøver å skrive ut rekka for de første leddene, og setter inn [tex]n=1, n=2, n=3...[/tex], så vil du se et mønster hvor alle leddene med unntak av [tex]1[/tex] kan strykes mot hverandre. Dette er fordi vi vekselvis har negative og positive verdier for samme brøker. I tillegg vil du se at det siste leddet du velger (la oss si [tex]n=1000[/tex]), ikke vil kunne strykes mot det neste leddet (fordi n=1000 er det siste leddet). Helt generelt kan vi derfor si at summen [tex]S =[/tex] [tex]1[/tex] (det første leddet) [tex]-\frac{1}{(n+1)^2}[/tex](avhengig av hva du setter inn for n).