matematikk.net

Hei!

Jeg har nettopp regnet ut den deriverte av f(x)= x^2(x+2)^2, definert for R.
Så skulle jeg faktorisere den deriverte og fikk x(x+1)(x+2)...

Oppgaven er å finne ut de intervall der f(x) er minkende og de intervall der den er voksende.

Så jeg finner ut at nullpunktene, naturligvis, er -2, -1 og 0, og at funksjonen er MINKENDE fram til -2, VOKSENDE fram til -1, MINKENDE igjen fram til 0, og fra x=0 og oppover VOKSER funksjonen igjen.

DET jeg ikke forstår er:
Hvorfor står det i fasit at [-2,-1] og [0, uendelig > er voksende intervaller,
mens <- uendelig, -2] og [-1,0] er minkende?

Jeg forstår hvorfor det foran og bak "uendelig" er et åpent intervall-tegn, men hvorfor bruker de "[" og "]" (lukket) på -2, -1 og 0? Kan en funksjon være både voksende og stigende når den deriverte = 0? Høres merkelig ut.

Jeg hadde brukt åpent intervall på disse, fordi det kun FRAM til -2, - 1 og 0 er voksende/minkende (men aldri i selve derivert=0) !

Noen som forstår hva jeg ikke forstår?

Ved en kjapp gjennomregning får jeg $f'(x) = 4x(x+1)(x+2)$ ferdig faktorisert. Mulig du har en slurvefeil eller en skrivefeil. (Eller at jeg har det...)

$f'(x) = 0$ gir løsningene $x\in\{-2, -1, 0\}$, så det ser greit ut. Dette endres uansett ikke av en manglende positiv faktor (4).

Det stemmer som du sier at fasiten ikke biter seg merke i at $f'(x) = 0$ gir et punkt som er verken stigende eller synkende.

Du har rett i å bruke åpne intervaller her. Såvidt jeg kan se er det fasitfeil.

Ok, takk, men da gjør faktisk den som lager eksamensfasit feil hele tiden...

Hver eksamen har lukket intervall der jeg ville brukt åpent (i og med at jeg selv ikke tror at en funksjon vokser når den deriverte i det punktet er 0).

Hm.

Hvis dette skjer gjentatte ganger ville jeg tatt kontakt med faglærer, som er (eller kan ta kontakt med) den som lager fasit til eksamensoppgavene.

Ok, takk for all hjelp.

Jeg har forståelse for at det ikke virker helt naturlig å si at f vokser eller minker når den deriverte er lik 0. Det har seg allikevel
slik at ut i fra definisjonen av en voksende/minkende funksjon så vil det være riktig å inkludere endepunktene, slik som fasiten
har gjort, i de intervallene du nevner.

En funksjon er voksende på et intervall $[a,b]$ dersom for alle $x_1,x_2$ i intervallet så vil $x_1<x_2$ medføre at $f(x_1)\leq f(x_2)$.
Man kan bevise at dette holder hvis $f'(x)\geq 0$ på $[a,b]$ (forutsatt at $f$ er deriverbar). Det vil si at det faktisk er riktig å ta med
de punktene hvor $f'(x)=0$ også. Det er heller ikke så vanskelig å overbevise seg om at dette er rimelig ut i fra definisjonen gitt ovenfor.

Detaljer som dette blir langt mer relevant på litt høyere nivå. Jeg mistenker at misforståelsen er forårsaket av at en voksende funksjon
nærmest blir definert ut ifra den deriverte på vgs (??).

Aha... Så du skal faktisk skrive, f.eks.(vilkårlig) : f er stigende i intervallet <-uendelig, 2], minkende i [2,3] og stigende igjen i [3,uendelig> ?


Det var godt å vite. Takk.