matematikk.net

Her er link til oppgaven: http://www.uio.no/studier/emner/matnat/ ... oblig1.pdf
Prøvde å få satt inn bildet, men fikk ikke til.

Problemet er integral. Har kommet ned til oppgave 2f. Kan noen forklare meg på en enkel måte hvordan jeg bruker integral, og hvordan jeg kan regne ut videre? Jeg har aldri brukt integral før og må levere oppgaven i morgen. (Ja, jeg skal pugge skikkelig, men rekker ikke det i kveld.) Ønsker å gjøre mest mulig selv, slik at jeg forstår hva jeg har gjort. Men alt jeg leser om integral er helt uforståelig. Skjønner prinsippet og poenget med hva man kan bruke det til, men ikke utregning.

Edit: Mulig jeg misforstod spørsmålet ditt litt, men her i hvert fall et forslag til fremgangsmåte på oppgave f)

Du skal vise at buelengden til den parameteriserte kurven $r(\theta)=f(\theta)(\cos{\theta},\sin{\theta})$, hvor $f(\theta)=1+\cos{\theta}$,
kan skrives som $(1)$

$2\sqrt2\int_{0}^{\pi}\frac{\sin{\theta}}{\sqrt{1-\cos{\theta}}}\mathrm{d}\theta$

Formelen for buelengde er gitt ved $L(a,b)=\int_{a}^{b}v(t)\mathrm{d}t$. I oppgave d) har du forhåpentligvis kommet frem til at
$v(\theta)=\sqrt{2+2\cos{\theta}}$, så vi har at

$L=\sqrt2\int_{0}^{2\pi}\sqrt{1+\cos{\theta}}\mathrm{d}\theta$

Oppgaven blir da å vise at dette integralet kan omformes til det gitt i oppgaven. Jeg har ikke tenkt til å regne hele oppgaven for deg,
men gir heller et forslag til en fremgangsmåte. Start med å multiplisere teller og nevner med $\sqrt{1-\cos{\theta}}$ og husk at
$\sqrt{\sin^2{\theta}}=|\sin{\theta}|$. Splitt deretter integralet opp i to deler, hvor det første går fra $0$ til $\pi$ og det andre fra
$\pi$ til $2\pi$. Vis til slutt at disse integralene har samme verdi (for eksempel ved symmetribetraktninger eller en passende
substitusjon).

Hvis du ikke har hatt noe integrasjon før, så er dette det jeg vil si å "bli kastet uti den dype enden". Etter du har lest det jeg kommer til å skrive, anbefaler jeg at du sjekker ut noen av videoene jeg har om dette:

http://udl.no/r2-matematikk/kapittel-1-integralregning
http://udl.no/r2-matematikk/kapittel-7- ... onsmetoder

Et bestemt integral er en tilnærmet uendelig sum av bittesmå biter. En veldig vanlig ting å bruke det på, er å beregne arealet under en graf.

Vi kan også bruke det, slik som i dette tilfellet, for å beregne lengden av en kurve mellom to punkter. Da tar vi gjerne utgangspunkt i en parameterfremstilt kurve, som du har her.

Rent intuitivt ser vi på det som at vi deler opp kurven i tilnærmet uendelig mange små, rette linjer: http://i.imgur.com/InbrrBV.png

Et integral er med andre ord en sum der antall ledd går mot uendelig. Og når vi betrakter lengden av en kurve, så liker vi å se på det som at vi deler den opp i nesten uendelig mange små biter, og summerer opp lengden av alle de små bitene.

PS: Ser Brahmagupta kom meg i forkjøpet. ^^

Aleks855 wrote:
PS: Ser Brahmagupta kom meg i forkjøpet. ^^

Vel, hvis mistanken min om at jeg ikke egentlig svarte på det som ble spurt om er riktig, så er vel ditt svar mer passende

Hvis jeg har rett, og TS er helt ny til integraler, tror jeg ditt innlegg er enda viktigere mtp. innleveringsfristen

Tusen takk, begge to!

Aleks855: Det er nettopp dette jeg har skjønt; altså hva integral brukes til. Hvordan man regner ut i praksis er derimot ukjent for meg og jeg har ikke funnet gode forklaringer på det. Skal titte på videoene når jeg har prøvd meg frem litt med Brahmagupta sin hjelp.

Brahmagupta: TUSEN TAKK!!! Det hjalp veldig mye. I d kom jeg frem til sqrt(2)*sqrt(1+cos) som du sier, så med din hjelp greier jeg forhåpentligvis å komme noe lengre

OK. Nå har jeg ganget inn 1-cos i teller og nevner og får sqrt(sin^2) i teller og sqrt(1-cos) i nevner.

Hva det vil si å splitte opp integralet sier seg ikke selv for meg. Noen hint?

Kaller integranden $g(\theta)$ for litt enklere notasjon. Da har vi at

$\int_{0}^{2\pi}g(\theta)\mathrm{d}\theta=\int_{0}^{\pi}g(\theta)\mathrm{d}\theta+\int_{\pi}^{2\pi}g(\theta)\mathrm{d}\theta$.

Dette gjør vi for å bli kvitt absoluttverdien i telleren, ser du hvordan dette skjer?

Egentlig ikke.

For meg ser alt likt ut, bare at det ene integralet går fra 0 til pi og det andre fra pi til 2pi. Men det ringer ingen bjeller i forhold til hva jeg bør gjøre for å skrive dem om. Har sett en del av filmene til Aleks også nå, og skjønner enda litt mer, men det er jo for ganske "enkle" stykker i forhold til dette. Mulig jeg har en integrasjonsrullegardin for sin og cos. Jeg ser i hvert fall ikke noen umiddelbar løsning

Absoluttverdien tilfredsstiller at for positive $x$ er $|x|=x$ og for negative $x$ er $|x|=-x$. Siden $\sin{\theta}$ er positiv
på intervallet $[0,\pi]$ er da $|\sin{\theta}|=\sin{\theta}$ på dette intervallet. Tilsvarende for $\theta\in [\pi,2\pi]$ er
$|\sin{\theta}|=-\sin{\theta}$. På denne måten blir du kvitt absoluttverdien i integralene, hvilket var formålet ved å
splitte det opp i utgangspunktet.

Det skal sies at denne deloppgaven skal være ganske utfordrende, så det skulle nok gå fint selv om du ikke kommer helt i
mål.

OK. Skjønner hva du sier.

Får du 2sqrt2 utenfor integralet fordi du splittet og dermed halvverte på en måte? Sorry, dårlig forklart i natta her, men...

Ja, det er på et vis det som skjer. Det som gjenstår å forklare på dette tidspunktet er hvorfor

$\int_{\pi}^{2\pi}\frac{-\sin{\theta}}{\sqrt{1-\cos{\theta}}}\mathrm{d}\theta=\int_{0}^{\pi}\frac{\sin{\theta}}{\sqrt{1-\cos{\theta}}}\mathrm{d}\theta$

Hvis du tar en titt på plotene fra oppgave e) så ser du kanskje hvorfor det må være slik.

OK. Skal titte på det i morgen tidlig med litt klarere hode. Må få regnet ut integralet også

Tusen takk for uvurdelig god hjelp!