matematikk.net

Heisann,

Kaller tråden for integraler ettersom jeg kanskje vil komme til å lure på flere, men i første omgang sliter jeg med dette:

[tex]\int cos^2xsin^2xdx[/tex]

Prøvde først med substitusjon og satte [tex]u=sin x[/tex], men kom ikke i mål.

Har nå forsøkt med delvis integrasjon, men kommer ikke helt i mål der heller.

Noen tips?

$
\cos^m \theta \sin^m \theta = (\cos \theta \sin \theta)^m = \left( \frac{1}{2} \sin (2\theta) \right)^m = \frac{1}{2^m} \sin^m (2 \theta)
$

og $2 \sin^2 n \theta = 1 - \cos(2 n \theta) $ usw.

Takk, Nebu, men forsto ikke det der helt uten videre.

Forresten. Hvor er det episke innlegget ditt om integraler som var klistret på VGS-forumet? Tenkte å bla gjennom det og søkefunksjonen her er ikke så enkel.

Det Nebu skriver gjelder for integralet ditt, der $m = 2$. Ellers bruker han bare noen grunnleggende trig-identiteter.

Anbefaler å bokmerke denne Wikien: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_tr ... identities

Det er en uvurderlig side for å skrive om trig-uttrykk for å gjøre blant annet integraler lettere.

Bruk de to "reglene" ovenfor og uttrykk integralet ditt via $\cos 4 \theta$. Deretter kan du integrere direkte
eller bruke substitusjon. Litt usikker på hvor det forsvant, lenge siden jeg styrte med det. Holder jo på med
http://folk.ntnu.no/oistes/Diverse/Integral/, men den er et stykke fra å være ferdigskrevet.

Takk, begge to. Skal se om jeg forstår noe av det nå.

Vet ikke om jeg har sett den regelen i pensum.

Vel, jeg har forsøkt litt til, men uten hell. Finnes det en enklere måte å gjøre det på enn du foreslår, Nebu? Har nemlig ikke sett noe i nærheten av den omskrivingen du gjør i pensum, så det gjør meg litt usikker.

Jeg har forsøkt følgende:

[tex]\int cos^2xsin^2xdx[/tex]

Setter [tex]u=sinx[/tex], [tex]u'=cosx[/tex] og [tex]du = cosxdx[/tex].

[tex]cos^2x=1-sin^2x = 1-u^2[/tex]

[tex]\int (1-u^2)u^2dx[/tex]

[tex]\int u^2-u^4dx[/tex]

Og der sier det stopp.

Eventuelt:

[tex]\int u'*u^2*u'dx[/tex]

[tex]\int u'*u^2du[/tex]

Men der sier det vel også stopp.

Er jeg helt ute og sykler?

Kan oppgaven enkelt løses ved delvis integrasjon? Oppgaven er i en bolk med oppgaver med delvis integrasjon. Har begynt på det, men slik jeg ser det får jeg et ganske hårete integral igjen, så føler ikke det er optimal strategi heller.

Bruker du $u \mapsto \sin x$ så er $\mathrm{d}u = \cos x \mathrm{d}x$ og $\cos x = \sqrt{1 - u^2}$. Med andre ord får du
$ \int \sin^2x \cos^2x \,\mathrm{d}x = \int u^2 \sqrt{1-u^2}\,\mathrm{d}u$ som ikke er lettere å integrere.

----------------------------------------------------------

Formelene jeg oppgav skal være kjent fra videregående, så de burde stå i margen av matteboken din

$ \hspace{1cm}
\int \sin^2x \cos^2x \,\mathrm{d}x
= \frac{1}{4} \int \sin^2 2x \mathrm{d}x
= \frac{1}{4} \int \frac{1 - \cos 4x}{2} \,\mathrm{d}x
$

osv. Herfra regner jeg med det burde gå fint?

----------------------------------------------------------

Delvis kan funke, men den blir nok en del vanskeligere enn regningen ovenfor.
Vi vet at $\sin^2x \cos^2x = [ \sin x \cdot \cos x] \cdot [\sin x \cdot \cos x]$
La nå $u = \sin x \cdot \cos x$, $u' = \cos^2x - \sin^2x$. Tilsvarende
$v' = \sin x \cdot \cos x$, $v = - \frac12 \cos^2x$. Hvor jeg overlater mellomregningene til deg. Da blir

$
\hspace{1cm}
\begin{align*}
\color{red}{\int \sin^2x \cos^2x \,\mathrm{d}x}
& = \sin x \cos x \cdot \left( - \frac12 \cos^2x \right)
- \color{blue}{\biggl[ } \int \left( \cos^2x - \sin^2x \right) \cdot \left( - \frac12 \cos^2x \right) \,\mathrm{d}x \color{blue}{\biggr] } \\
& =- \frac12 \sin x \cos^3x - \color{blue}{\biggl[ } \frac{1}{2} \color{red}{ \int \sin^2x \cos^2x \,\mathrm{d}x } - \int \frac{1}{2} \cos^4 x \color{blue}{\biggr] }
\end{align*}
$

Ved å legge til det røde integralet på begge sider, får en da

$
\hspace{1cm}
\frac{3}{2} \int \sin^2x \cos^2x \,\mathrm{d}x
= -\frac{1}{2} \sin x \cos^3 x + \frac{1}{2} \int \cos^4 x \,\mathrm{d}x
$

Hvor det siste integralet igjen kan løses via delvis integrasjon, eller reduksjonsformler, eller å bare bruke de trigonometriske identitene igjen

$ \hspace{1cm}
\cos^4x
= [\cos^2x]^2
= \left[ \frac{1 + \cos 2x}{2} \right]^2
= \cdots
= \frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{8} \cos 4x + \frac{3}{8}
$

usw. Hvor igjen du kan fylle inn $\cdots$

Nebuchadnezzar wrote:Formelene jeg oppgav skal være kjent fra videregående, så de burde stå i margen av matteboken din

Er du helt sikker på det?

Har nettopp bladd gjennom R2-boken min og så vidt jeg kan se har vi kun enhetsformelen og sum/differanse av vinkler.

I kalkulusboken (Matematikk for Ingeniører) er det en god del flere identiteter i margen, men ser ikke formelen du gir meg, så sant den ikke er utledet av en av de som står der da.

Nebuchadnezzar wrote: $ \hspace{1cm}
\int \sin^2x \cos^2x \,\mathrm{d}x
= \frac{1}{4} \int \sin^2 2x \mathrm{d}x
= \frac{1}{4} \int \frac{1 - \cos 4x}{2} \,\mathrm{d}x
$

osv. Herfra regner jeg med det burde gå fint?

Går helt strålende. Takk for hjelpen!

Tror jeg dropper den delvise integrasjonen i denne omgang.

Fant denne på siden Aleks linket til og brukte den. Blir jo det samme, men forstår ikke helt den du tar:

Du må klare å tenke selv, virker som du kun er ute etter formler og spesifikke fremmgangsmåter.
Slik er ikke integrasjon, matematikk poå høyere nivå, eller livet generelt. Du må kunne noen verktøy/formler
og å sette disse sammen på egenhånd. Om du bare satser på slaviske fremgangsmåter og rutiner kommer du snart til å møte veggen.

Hvertfall i Tom Lindstrøms bok, kalkulus og Adams står formelene i permen. Uansett

$
\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x
$

To stykker som MÅ sitte er følgende

$\sin( A + B) = \sin A \cos B + \sin B \cos A$,
$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

Er i utgangspunktet disse to
pluss enhetsformelen en MÅ kunne for å utlede de fleste andre formler.
sett $A = B = x$ i øverste, da får en $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, deretter del på $2$.

Ved å sette $A=B=x$ i nederste likning fås
$\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x = (1-\sin^2x) - \sin^2x = 1 - 2 \sin^2x$. Evnt
$\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x = \cos^2x - ( 1 - \cos^2x ) = 2 \cos^2x - 1$.
Som kan løses med hensyn på $\cos^2x$ og $\sin^2x$. Så

$
\cos^2(x) = \frac{ 1 + \cos 2x }{ 2 } \quad \text{og} \quad \sin^2x = \frac{1 - \cos 2x}{2}
$

Hvor huskeregelen min for disse formlene er at $\cos^2x + \sin^2x = 1$. Ved å kombinere
de to reglene får vi

$
[\sin x \cos x]^2 = \left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]^2 = \frac{1}{4} \sin^2(2x) = \frac{1}{4}\left[ \frac{1-\cos 2\cdot 2x}{2} \right] = \frac{1 - \cos 4x}{8}
$

Om $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2(x)$ så må nødvendigvis $\cos 4x = 1 - 2 \sin^2 (2x)$

Nebuchadnezzar wrote:Du må klare å tenke selv, virker som du kun er ute etter formler og spesifikke fremmgangsmåter.
Slik er ikke integrasjon, matematikk poå høyere nivå, eller livet generelt. Du må kunne noen verktøy/formler
og å sette disse sammen på egenhånd. Om du bare satser på slaviske fremgangsmåter og rutiner kommer du snart til å møte veggen.

Enig. Og nei, jeg er faktisk ute etter å forstå, men jeg opplever det som vanskelig og krevende. Hadde jeg ikke ville forstått, hadde jeg ikke spurt og maset så mye som jeg gjør.

Nebuchadnezzar wrote:Uansett

$
\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x
$

To stykker som MÅ sitte er følgende

$\sin( A + B) = \sin A \cos B + \sin B \cos A$,
$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

Er i utgangspunktet disse to
pluss enhetsformelen en MÅ kunne for å utlede de fleste andre formler.
sett $A = B = x$ i øverste, da får en $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, deretter del på $2$.

Ved å sette $A=B=x$ i nederste likning fås
$\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x = (1-\sin^2x) - \sin^2x = 1 - 2 \sin^2x$. Evnt
$\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x = \cos^2x - ( 1 - \cos^2x ) = 2 \cos^2x - 1$.
Som kan løses med hensyn på $\cos^2x$ og $\sin^2x$. Så

$
\cos^2(x) = \frac{ 1 + \cos 2x }{ 2 } \quad \text{og} \quad \sin^2x = \frac{1 - \cos 2x}{2}
$

Hvor huskeregelen min for disse formlene er at $\cos^2x + \sin^2x = 1$. Ved å kombinere
de to reglene får vi

$
[\sin x \cos x]^2 = \left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]^2 = \frac{1}{4} \sin^2(2x) = \frac{1}{4}\left[ \frac{1-\cos 2\cdot 2x}{2} \right] = \frac{1 - \cos 4x}{8}
$

Om $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2(x)$ så må nødvendigvis $\cos 4x = 1 - 2 \sin^2 (2x)$

Hjertelig takk for den. Skal skrives ned.

[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x}\int_{0}^{x}\sqrt{cos^3t+sin(3t)}dt[/tex]

Noen tips på dette?

Øvre grense er x og nedre grense er 0. Betyr det at jeg først må foreta meg et variabelbytte i integralet fra t til x, deretter regne ut det bestemte integralet og så se om grenseverdien til [tex]\frac{1}{x}[/tex] ganger det bestemte integralet eksisterer?

Skal se om jeg greier å løse det integralet nå, men fikk det ikke til med en gang.

EDIT: La inn integralet på en kalkulator og får opp at det ikke har løsning. Tror det er en første for min del. Hvordan ser jeg det?

Merk at du har et 0/0 uttrykk, så du kan regne ut grenseverdien ved å bruke l'hôpital i kombinasjon
med analysens fundamentalteoren.

Dersom $g(x) = \int_0^x f(t) \,\mathrm{d}t$ da er $g'(x) = f(x)$.

Merk at de ikke sier at du skal regne ut integralet, bare bestemme grenseverdien =)

Hmmm...

Kan jeg da skrive det slik?

[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{g(x)}{x}[/tex]

[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{g'(x)}{1}[/tex]

[tex]\lim_{x\rightarrow 0}f(x)[/tex]

Og så setter jeg inn for 0 i [tex]f(x)=\sqrt{cos^3(x)+sin(3x)}[/tex]? Og finner at f(0) = 1?

Eller er jeg ute og sykler? Hodet mitt verker.