Page 1 of 1
Partiell derivasjon
Posted: 01/12-2005 20:51
by juljul
Gitt funksjonen f(x,y) = 9xy - x^3 - y^3 -6.
Hva blir de partiell deriverte av første og andre orden? Hva blir funksjonens stasjonære punkter/punkt og hvordan klassifiseres de?
Håper noen kan hjelpe!!
Posted: 01/12-2005 21:43
by Solar Plexsus
(1) [part][/part]f / [part][/part]x = 9y - 3x[sup]2[/sup]
(2) [part][/part]f / [part][/part]y = 9x - 3y[sup]2[/sup]
(3) [part][/part][sup]2[/sup]f / [part][/part]x[sup]2[/sup] = -6x
(4) [part][/part][sup]2[/sup]f / [part][/part]y[sup]2[/sup] = -6y
(5) [part][/part][sup]2[/sup]f / [part][/part]x [part][/part]y = [part][/part][sup]2[/sup]f / [part][/part]y [part][/part]x = 9
For å finne de stasjonære punktene, setter vi [part][/part]f / [part][/part]x = [part][/part]f / [part][/part]y = 0. Av (1) og (2) følger at x = 3y og y = 3x. Dette likningssystemet har kun løsningen x = y = 0. Så (0,0) er eneste stasjonære punkt. Vha. av (3)-(5) får vi at de partiellderiverte av 2. orden i origo er
A = [part][/part][sup]2[/sup]f / [part][/part]x[sup]2[/sup] = -6x = -6[sub]*[/sub]0 = 0
B = [part][/part][sup]2[/sup]f / [part][/part]x [part][/part]y = [part][/part][sup]2[/sup]f / [part][/part]y [part][/part]x = 9
C = [part][/part][sup]2[/sup]f / [part][/part]y[sup]2[/sup] = -6y = -6[sub]*[/sub]0 = 0
Dette medfører at
D = AC - B[sup]2[/sup] = 0[sub]*[/sub]0 - 9[sup]2[/sup] = -81.
Siden D < 0, er (0,0) ifølge andrederivasjonstesten et sadelpunkt.