matematikk.net

Ønsker kommentar hvorhvidt det er godt ført eller ei, om det i det hele tatt er riktig, f.eks gjør jeg unødvendig mye jobb
"Et lodd med massen m henger i en fjær som har fjærkonstant k. Vis at når loddet svinger uten demping, er svingetida T gitt ved [tex]T = 2\pi * \sqrt{\frac{m}{k}}[/tex]"


[tex]my'' + ky = 0[/tex]

[tex]mr^{2} + k = 0[/tex] <=> [tex]r = \pm \sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{-1}[/tex]

[tex]y(t) = C *sin \left (\sqrt{\frac{k}{m}}*t\right) + D*cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}*t\right)[/tex]

Sier at cos [tex]\varphi = C[/tex] og at [tex]A = \sqrt{C^{2} + D^{2}}[/tex]. ønsker å skrive [tex]y(t)[/tex] på formen [tex]a*sin\left(b(t+c)\right)[/tex] (?)


[tex]y(t) = \sqrt{C^{2} + D^{2}} \left(\frac{C}{ \sqrt{C^{2} + D^{2}}} * sin( \sqrt{\frac{k}{m}}*t) + \frac{D}{ \sqrt{C^{2} + D^{2}}}*cos(\sqrt{\frac{k}{m}}*t) \right)[/tex]

[tex]y(t) = \sqrt{C^{2} + D^{2}} * sin\left(\varphi + \sqrt{\frac{k}{m}}*t \right)[/tex]

[tex]y(t) = \sqrt{C^{2} + D^{2}} * sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}\left(\frac{\varphi}{\sqrt{\frac{k}{m}}} + t\right)\right)[/tex]

Da er [tex]p = T = \frac{2\pi}{b}[/tex] => [tex]T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{m}}} = 2\pi * \sqrt{\frac{m}{k}}[/tex]

Du trenger ikke gjøre om løsningen av difflikningen til en ren sinus-funksjon. Perioden $T$ er lik for begge måtene å skrive likningen på så du kan ta den direkte fra linje 3.

På de tre første linjene er det mulig å ta med litt mer i føringen. F.eks. før linje 2 kan du godt si at difflikningen har karakteristisk likning, og så skriv linje 2.
Overgangen før linje 3 kan også forklares for å gjøre det perfekt, ved at e-faktoren tas med først ($e^{0 t}$), eventuelt at du skriver opp uttrykkene for hjelpevariablene $p$ og $q$ (hvis det er det du bruker) mellom linje 2 og 3.