matematikk.net

Hei, sliter litt med oppgave 6.262 i cosinus R1 arbeidsbok.

Oppgaven lyder:

I trekant ABC er vinkel A = 60 grader, AB = 3 cm, og AC = 2 cm. Videre er M midtpunktet på AB. Vi setter vektor a lik vektor AB, og vektor b lik vektor AC. Punktet D ligger slik at vektor BD = t * vektor BC. Bestem t slik at vektor MD står vinkelrett på vektor BC.

Har nå sett at denne oppgaven ble stilt spørsmål om tidligere, men ingen har konkret gitt en besvarelse der hvor de viser beregning av hvordan de kom frem til svaret. Fasit viser til at t = 3/7.

Ønsker veldig gjerne at noen kan vise meg beregning på hvordan man kan komme frem til dette svaret

jeg får at t= 3/4
slik gjorde jeg;
definerte alle vektorene som basisvektorer, fant BC vektor, fant MD vektor, alt det som basisvektorer, deretter står det i oppgaven at md skal stå vinkelrett på bc dette impliserer at md prikk multiplisert med bc = 0
regnet ut med hensyn på t og får t = 3/4

Hei!

Det er veldig fint å ha en kladd av denne figuren. For så vidt ser vi:

[tex]\vec{AM}=\vec{MB}[/tex] =[tex]\frac{1}{2}\vec{a}[/tex]

[tex]\vec{BC}[/tex]= [tex]\vec{b}-\vec{a}[/tex]
[tex]\vec{MD}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}\vec{a}[/tex]+BD=[tex]\frac{1}{2}\vec{a}[/tex]+t BC= [tex]\frac{1}{2}\vec{a}[/tex]+t ([tex]\vec{b}-\vec{a}[/tex]) = [tex]\vec{b} t+(\frac{1}{2}-t)\vec{a}[/tex]

Vi må bruke skalarprodukt, vi får:

a*a*cos(0[tex]^{\circ}[/tex])=9
b*b*cos(0[tex]^{\circ}[/tex])=4
a*b*cos(60[tex]^{\circ}[/tex])=3

At MD står vinkelrett på BC gir oss en likning:
[tex]\vec{MD}[/tex]*[tex]\vec{BC}[/tex]=0
([tex]\vec{b} t+(\frac{1}{2}-t)\vec{a}[/tex])*([tex]\vec{b}-\vec{a}[/tex])=0

Kommentar: skulle ønske dette var en fin konjugatsetning, ja,ja:
[tex]\vec{b^{2}}[/tex]t+[tex]\vec{a} \vec{b}[/tex] [tex](\frac{1}{2}-t)[/tex]-[tex]\vec{a} \vec{b}[/tex] t-[tex](\frac{1}{2}-t)[/tex] [tex]\vec{a^{2}}[/tex]=0

[tex]4t+(\frac{1}{2}-t)3-3t-(\frac{1}{2}-t)9=0[/tex]
[tex]4t+\frac{3}{2}-3t-3t-\frac{9}{2}+9t=0[/tex]
Også ender med [tex]t=\frac{3}{7}[/tex]

Så vi ser at når t=[tex]\frac{3}{7}[/tex] så vil vektorene MD og BC stå ortogonalt (vinkelrett/vinkelen mellom MD og BC er 90[tex]^{\circ}[/tex]) på hverandre

Edit: NB! [tex]\vec{BD}\left | \right |\vec{BC}[/tex], de er parallelle.