Initialverdiproblem?
Posted: 11/04-2015 21:38
Hei alle,
Håper dere har en bedre lørdagskveld enn meg.
Løs initialverdiproblemet [tex]2xy'=cos (y), y(1)=0 for x>0[/tex].
Dette er vel en separabel differensiallikning om jeg ikke ser feil? Jeg skriver om slik:
[tex]2xy'=cos(y)[/tex]
[tex]y'=\frac{1}{2x}cos(y)[/tex]
[tex]\int \frac{1}{cos(y)}dy=\frac{1}{2x}dx[/tex]
Integralet på venstre side var en liten nøtt. Har googlet litt og finner at dette tilsvarer [tex]sec (y)[/tex], men vi har egentlig ikke lært noe om den identiteten, så jeg droppet det og skrev det heller om ved å gange med [tex]cos (y)[/tex] oppe og nede, deretter enhetsformel i nevner slik at vi har [tex]\int \frac{cos (y)}{1-sin^2(y)}[/tex]. Løser denne ved hjelp av substitusjonen [tex]u=sin(y)[/tex].
Jeg orker faktisk ikke texe resten her, men om jeg har gjort rett, noe jeg tror, skal vi stå igjen med følgende på hver side:
[tex]\frac{1}{2}ln\frac{(1+sin(y))}{(1-sin(y)}=ln(2x)+C[/tex]
Ganger med 2 på begge sider (er vel lov, men kanskje ikke lurt?), opphøyer dette i e og får da
[tex]\frac{1+sin(y)}{1-sin(y)}=4x^2*e^C=C4x 2[/tex]
Rett så langt? Meget usikker. Men i så fall kan jeg jo gange ut dette uttrykket og få sin (y) alene (takk Lektor) slik:
[tex]sin(y)=\frac{C4x^2-1}{C4x^2+1}[/tex]
Men jeg skal jo ha y alene. Kan jeg da gange inn arc sin? På hver side?
Mener på jeg har sett dette blitt gjort en gang før, men husker ikke skikkelig og vi har definitivt ikke lært det. Kontroll på kalkulator gir jo feil når jeg gjør det.
Men om så er lov, og arc sin og sin "kansellerer" hverandre, vil jeg da få:
[tex]y(x)=arcsin\frac{(C4x^2-1)}{(C4x^2+1)}[/tex]
Prøver initialbetingelsene og ser:
[tex]0=arcsin\frac{C4*1^2-1}{C4*1^2+1}=\frac{C4-1}{C4+1}[/tex]
Da må vel C være 1/4?
Og vi står igjen med
[tex]y(x)=arcsin\frac{x^2-1}{x^2+1}[/tex]
Som jo er nesten samme svar som fasit. I fasit er det ikke noen eksponent i x. Så noe feil har jeg gjort. Mulig det var når jeg skrev om logaritmen på venstre side og at om man i stedet for å gange med 2 først, da kunne ganget med 2 på begge sider til slutt og stått igjen med en enkel x.
Noen som kan korrigere meg og gi noen innspill?
På forhånd takk og god lørdag.
Håper dere har en bedre lørdagskveld enn meg.
Løs initialverdiproblemet [tex]2xy'=cos (y), y(1)=0 for x>0[/tex].
Dette er vel en separabel differensiallikning om jeg ikke ser feil? Jeg skriver om slik:
[tex]2xy'=cos(y)[/tex]
[tex]y'=\frac{1}{2x}cos(y)[/tex]
[tex]\int \frac{1}{cos(y)}dy=\frac{1}{2x}dx[/tex]
Integralet på venstre side var en liten nøtt. Har googlet litt og finner at dette tilsvarer [tex]sec (y)[/tex], men vi har egentlig ikke lært noe om den identiteten, så jeg droppet det og skrev det heller om ved å gange med [tex]cos (y)[/tex] oppe og nede, deretter enhetsformel i nevner slik at vi har [tex]\int \frac{cos (y)}{1-sin^2(y)}[/tex]. Løser denne ved hjelp av substitusjonen [tex]u=sin(y)[/tex].
Jeg orker faktisk ikke texe resten her, men om jeg har gjort rett, noe jeg tror, skal vi stå igjen med følgende på hver side:
[tex]\frac{1}{2}ln\frac{(1+sin(y))}{(1-sin(y)}=ln(2x)+C[/tex]
Ganger med 2 på begge sider (er vel lov, men kanskje ikke lurt?), opphøyer dette i e og får da
[tex]\frac{1+sin(y)}{1-sin(y)}=4x^2*e^C=C4x 2[/tex]
Rett så langt? Meget usikker. Men i så fall kan jeg jo gange ut dette uttrykket og få sin (y) alene (takk Lektor) slik:
[tex]sin(y)=\frac{C4x^2-1}{C4x^2+1}[/tex]
Men jeg skal jo ha y alene. Kan jeg da gange inn arc sin? På hver side?
Mener på jeg har sett dette blitt gjort en gang før, men husker ikke skikkelig og vi har definitivt ikke lært det. Kontroll på kalkulator gir jo feil når jeg gjør det.Men om så er lov, og arc sin og sin "kansellerer" hverandre, vil jeg da få:
[tex]y(x)=arcsin\frac{(C4x^2-1)}{(C4x^2+1)}[/tex]
Prøver initialbetingelsene og ser:
[tex]0=arcsin\frac{C4*1^2-1}{C4*1^2+1}=\frac{C4-1}{C4+1}[/tex]
Da må vel C være 1/4?
Og vi står igjen med
[tex]y(x)=arcsin\frac{x^2-1}{x^2+1}[/tex]
Som jo er nesten samme svar som fasit. I fasit er det ikke noen eksponent i x. Så noe feil har jeg gjort.
Mulig det var når jeg skrev om logaritmen på venstre side og at om man i stedet for å gange med 2 først, da kunne ganget med 2 på begge sider til slutt og stått igjen med en enkel x.Noen som kan korrigere meg og gi noen innspill?
På forhånd takk og god lørdag.