matematikk.net

Har ligningssystemet:

[tex]\begin{array}{rcc} 2x_1+x_2+x_3 & = & 3 \\ x_1+x_2-x_3 & = & 0 \\ -x_1+x_2+2ax_3 & = & b \end{array}[/tex]

Har funnet at systemet har uendelig mange løsninger når [tex]a=-\frac{5}{2}[/tex] og [tex]b=-6[/tex].

Nå skal jeg finne den generelle løsningen når systemet har uendelig mange løsninger. Setter inn verdiene for [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] og finner rekkeredusert koeffisientmatrise:

[tex]\begin{bmatrix}\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\end{bmatrix}[/tex]

Hvordan kan jeg finne den generelle løsningen?

Du burde heller radredusere totalmatrisa, og ikke bare koeffisientmatrisa.

OK. Da har jeg matrisen [tex]\begin{bmatrix}\begin{array}{rrrr}2 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -5 & -6\end{array}\end{bmatrix}[/tex] og får etter rekkereduksjon matrisen [tex]\begin{bmatrix}\begin{array}{rrrr}1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\end{bmatrix}[/tex].

Hva er den beste veien videre?

Bra. Jeg har ikke tatt meg tid til å sjekke at radreduksjonen osv er riktig, så det jeg forteller deg vil være med en antakelsen om at du har gjort riktig så langt. Uansett vil fremgangsmåten være gyldig.

1: Skriv ut den radreduserte totalmatrisa som likningssystem igjen. Legger merke til at $x_3$ ikke lenger har en bestemt verdi, så vi kan la $t = x_3$. Vi kaller dette for en "fri variabel".

2: Bruk de to resterende likningene, og finn uttrykk for $x_1$ og $x_2$ med hensyn på $t$. Eksempelvis, fra første likning ser vi at $x_1 = 3-2t$. Gjør det samme for $x_2$

3: Disse to vil være svaret ditt. Altså $x_1 = f(t)$ og $x_2 = g(t)$ for de to uttrykkene du finner.

Supert! Jeg er med.

Vil det da til slutt kunne være rett å skrive at løsningen er [tex]x=\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 \\ -3 \\ 0\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix}-2 \\ 3 \\ 1\end{bmatrix}[/tex]?

Det ser fint ut, sett ut fra den radreduserte totalmatrisa ja. Bra! Og fint at du kan den skrivemåten også.

Tusen takk for hjelpen