matematikk.net

Hei,
oppgaven lyder som følge:

Vi kan for eksempel lage figurtall ved å legge kuler oppå hverandre. Figuren viser de tre første pyramidetallene [tex]p_{1}=1,p_{2}=5,p_{3}=14[/tex]
Jeg har ikke tatt med figuren, men den viser rett og slett en en grønn ball, deretter fire blå baller under denne grønne ballen og til slutt 3^2=9 røde baller helt nederst.

a) Finn pyramidetallene [tex]p_{4}[/tex] og [tex]p_{5}[/tex]

b) Vis ved induksjon at [tex]P_{n}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]

På a) tenkte jeg slik:

[tex]p_{4}=1^2+2^2+3^2+4^2=30[/tex]

[tex]p_{5}=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55[/tex]

Er dette riktig tenkt eller helt feil? For meg ser det ut som om hvert nye "gulv" dannes ved kvadrattallene?

på b), er dette det man kaller for en rekursiv tallfølge?

Hvordan skal jeg klare det siste trinnet i induksjonen? Jeg klarer å bevise summeformler veldig greit ved induksjon, men når det kommer til andre formler da er jeg helt borte.

Jeg følger samme tankegang, først tester jeg for n=1. D får jeg 6/6=1 i formelen, og formelen er rett for n=1. Jeg antar n=k er rett og setter dette inn. Nå skal jeg sie at den gjelder for n=k+1. Dette setter jeg inn i påstanden, og får:

[tex]P_{n}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}[/tex]

Dette skjønner jeg at skal bevises, altså det viktigste steget. Normalt for summer ville jeg brukt [tex]S_{n+1}=S_{n}+a_{n+1}[/tex]
, men det er nok på trynet her.

Hva er selve trikset her for slike formler? Hjelp!

Løsninga ligger egentlig i det du selv sier: "For meg ser det ut som om hvert nye "gulv" dannes ved kvadrattallene?".

Du har altså lyst til å vise at hvis du legger til det neste kvadrattallet på [tex]p_k[/tex] så får du [tex]p_{k+1}[/tex]. Eller med andre ord, at [tex]p_{k+1} = p_k + (k+1)^2[/tex].

Du må sette opp leddene i rekken på venstre side av likhetstegnet og P(k+1) på høyre side (som du allerede har funnet).
Jobben er å få venstre siden til å bli lik høyre siden, og da vet du fra induksjonssteget at de k første leddene blir $\frac {k(k+1)(2k+1)}{6}$ mens ledd nummer $k+1$ blir $(k+1)^2$. Slå sammen disse to uttrykkene og se om du klarer å få det samme som på høyre side. I så fall har du vist at hvis formelen gjelder for k så gjelder den også for k+1, og du er i mål.