matematikk.net

Enda en fasit som jeg synes går litt for fort frem...

I figuren nedenfor er det tegnet to sirkler med radius $8$ og $6$, der avstanden mellom sentrene deres er $12$. $P$ er midtpunktet på $QR$. Finn $QP^2$


Er det her åpenbart at den forlengede linjen mellom sentrene treffer $R$ på sirkelbuen? (Fasiten nevner ikke dette i det hele tatt, og går rett på å bruke et punkts potens for å finne svaret.)

Det er bare slik R er blitt definert? Altså en forlenger linjen mellom endepunktene, og kaller skjæringspunktet
med den minste sirkelen for R. Deretter trekker en linjen og avsetter Q.

Beklager, dårlig oversetting av meg... Den originale oppgaveteksten:
"In the adjoining figure, two circles with radii $6$ and $8$ are drawn with their centers $12$ units apart. At $P$, one of the points of intersection, a line is drawn in such a way that the chords $QP$ and $PR$ have equal length. ($P$ is the midpoint of $QR$) Find the area of the square with a side length of $QP$."

Det er vel egentlig bare når avstanden mellom sentrene er lik $12$ at den forlengede linjen mellom sentrene treffer $R$? F. eks når avstanden mellom sentrene er lik $10$, vil det ikke være sånn ($P$ blir ikke midtpunkt på $QR$): Så det jeg lurer på er hvordan en kan gå fram for å vise at at den forlengede linjen mellom sentrene treffer R på sirkelbuen, gitt betingelsene i oppgaveteksten.

Du kan vel vise at det blir to kongruente trekanter her. Hvis du kaller skjæringspunktet mellom AB og den lille sirkelen for F (punktet nærmest A) så vil trekant CDF være kongruent med trekant EDF.