matematikk.net

sliter litt med siste biten av denne oppgaven

I en geometrisk rekke er det første leddet og kvotientet gitt ved:

[tex]a_1 = 2^{\frac{1}{cosx}}[/tex] og [tex]k = 2^{\frac{2sinx-1}{cosx}}[/tex]

a) finn [tex]a_2[/tex]) Den er [tex]2^{\frac{1}{cosx}}*2^{\frac{2sinx-1}{cosx}} = 4^{tanx}[/tex]

b) finn konvergensområde) Det er jo bare en haug med intervaller som jeg har funnet

c) la [tex]k = \frac{1}{2}[/tex]

1) finn det første leddet i rekken
2) finn summen av rekken.

Det er først og fremst 1 jeg sliter med her. Jeg setter [tex]\frac{a_2}{a_1} = \frac{1}{2}[/tex] og får [tex]a_1 = 2*4^{tanx}[/tex]
Men hva nå? I fasit har de satt inn verdier for x (0 og 2.21). Jeg skjønner ikke hvor de kommer fra ?

Det er gitt at

[tex]{\textstyle k = \frac{1}{2} = 2^{-1} = 2^{\frac{2\sin x - 1}{\cos x}}}[/tex]'

hvilket medfører at [tex]\frac{2\sin x - 1}{\cos x} = -1[/tex] siden [tex]2^x[/tex] er strengt voksende. Følgelig er

[tex]2 \sin x = 1 - \cos x[/tex]

[tex]4\sin^2 x = (1 - \cos x)^2[/tex]

[tex]4(1 - \cos^2 x) = (1 - \cos x)^2[/tex]

[tex](1 - \cos x)[4(1 + \cos x) - (1 - \cos x)] = 0[/tex]

[tex](1 - \cos x)(3 + 5\cos x) = 0[/tex]

[tex]\cos x = 1[/tex] eller [tex]\cos x = -0,6[/tex]

som gir [tex]x=0[/tex] eller [tex]x \approx 2,21[/tex] (forutsatt at [tex]0 \leq x \leq \pi)[/tex].

Vet ikke om jeg forstod det helt, hadde aldri i verden klart den oppgaven uten videre