matematikk.net

Gitt to andre ordens tensorer
[tex]\mathbf{C} = C_{ij}\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j[/tex] og [tex]\mathbf{U} = U_{ij}\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j[/tex] med følgende sammenheng mellom [tex]\mathbf{C}[/tex] og [tex]\mathbf{U}[/tex]: [tex]\mathbf{C} = \mathbf{U}^T\mathbf{U}[/tex]

I tillegg vet vi at både [tex]\mathbf{C}[/tex] og [tex]\mathbf{U}[/tex] er symmetriske.

Jeg vet at det kan gjøres nokså greit ved å vise at de to tensorene kommuterer ([tex]\mathbf{UC} = \mathbf{CU}[/tex]), men jeg kunne gjerne tenkt meg å vist det vha. egenverdiproblemet. Dette er hva jeg har prøvd selv:

[tex](\mathbf{U}-\lambda_i^U\mathbf{I})\mathbf{n}_i^U = \mathbf{0} \ \ \mathrm{og} \ \ (\mathbf{C}-\lambda_i^C\mathbf{I})\mathbf{n}_i^C = \mathbf{0}[/tex]

Slik at [tex]\mathbf{U} = \mathbf{N}^U\bar{\mathbf{U}}(\mathbf{N}^U)^T[/tex] og [tex]\mathbf{C} = \mathbf{N}^C\bar{\mathbf{C}}(\mathbf{N}^C)^T[/tex] hvor [tex]\bar{\mathbf{U}} \ \mathrm{og} \ \bar{\mathbf{C}}[/tex] er egenverdimatrisene og [tex]\mathbf{N}[/tex] inneholder egenvektorene [tex]\mathbf{N} = [\mathbf{n}_1 \ \mathbf{n}_2 \ \mathbf{n}_3][/tex]

Setter vi inn [tex]\mathbf{C} = \mathbf{U}^T\mathbf{U}=\mathbf{U}\mathbf{U}[/tex] i egenverdiproblemet får vi:

[tex]\left(\mathbf{N}^U\bar{\mathbf{U}}\underbrace{(\mathbf{N}^U)^T\mathbf{N}^U}_{=\mathbf{I}}\bar{\mathbf{U}}(\mathbf{N}^U)^T-\lambda_i^C\mathbf{I}\right)\mathbf{n}_i^C = \mathbf{0}[/tex]

[tex]\left(\mathbf{N}^U\bar{\mathbf{C}}(\mathbf{N}^U)^T-\lambda_i^C\mathbf{I}\right)\mathbf{n}_i^C = \mathbf{0}[/tex]

For at dette skal gjelde må [tex]\mathbf{N}^U\bar{\mathbf{C}}(\mathbf{N}^U)^T = \mathbf{C}[/tex] som igjen fører med seg at [tex]\mathbf{N}^U = \mathbf{N}^C[/tex]. Videre er det rimelig greit å vise at egenverdiene til [tex]\mathbf{U}[/tex] er lik kvadratroten av egenverdiene til [tex]\mathbf{C}[/tex]

Ser dette greit ut?

En annen (?) måte:

[tex]\bf{U}\bf{V} = \bf{V}\bf{D}[/tex], der [tex]\bf{V}[/tex] er tensoren med egenvektorene, og [tex]\bf{D}[/tex] er diagonaltensoren med egenverdiene på diagonalen.

Man har [tex]\bf{U} = \bf{V}\bf{D}\bf{V}^{-1}[/tex], og siden [tex]\bf{U} = \bf{U}^{T}[/tex] må man ha [tex]\bf{V}\bf{D}\bf{V}^{-1} = (\bf{V}\bf{D}\bf{V}^{-1})^{T} = \bf{V}^{-T}\bf{D}\bf{V}^{T}[/tex] og følgelig er [tex]\bf{U}\bf{U}^{T} = \bf{V}\bf{D}\bf{V}^{-1}\bf{V}\bf{D}\bf{V}^{-1} = \bf{V}\bf{D}^{2}\bf{V}^{-1} = \bf{C}[/tex]. Følgelig har de to tensorene samme egenvektorer.

Både enklere og lettere å følge. Takk skal du ha