matematikk.net

Hei. Dette er tatt fra løsningsforslaget til eksempeloppgaven for matteeksamen i s1 2015. Kan noen hjelpe meg med å forstå første og andre linje i løsningen?

$$\eqalign{
& {\text{Bestem en formel for x uttrykt ved a }}{\text{, y og b når }}y = a \cdot {b^x} \cr
& y = a \cdot {b^x} \cr
& {b^x} = \frac{y}{a} \cr
& x\lg b = \lg \left( {\frac{y}{a}} \right) \cr
& x = \frac{{\lg \frac{y}{a}}}{{\lg b}} \cr} $$

Du får andre linje ved å dele begge sider på a.

Arete wrote:Hei. Dette er tatt fra løsningsforslaget til eksempeloppgaven for matteeksamen i s1 2015. Kan noen hjelpe meg med å forstå første og andre linje i løsningen?

$$\eqalign{
& {\text{Bestem en formel for x uttrykt ved a }}{\text{, y og b når }}y = a \cdot {b^x} \cr
& y = a \cdot {b^x} \cr
& {b^x} = \frac{y}{a} \cr
& x\lg b = \lg \left( {\frac{y}{a}} \right) \cr
& x = \frac{{\lg \frac{y}{a}}}{{\lg b}} \cr} $$

Bruker de fleste logaritme reglene, så hvis du ser på dem så vil du forstå

Fysikkmann97 wrote:Du får andre linje ved å dele begge sider på a.

Hvis det stemmer så skjønner jeg ikke hvorfor de har fått y/a på høyre side. Det skulle isåfall vært omvendt.

Mattematika wrote:Bruker de fleste logaritme reglene, så hvis du ser på dem så vil du forstå

Jag så på logaritmereglene å leste en del om det før jeg skrev her. Jeg antar jeg missforstår eller mangler evnen til å kunne anvende de riktig, for jeg ser ikke hvordan de er brukt her.

Arete wrote:

Mattematika wrote:Bruker de fleste logaritme reglene, så hvis du ser på dem så vil du forstå

Jag så på logaritmereglene å leste en del om det før jeg skrev her. Jeg antar jeg missforstår eller mangler evnen til å kunne anvende de riktig, for jeg ser ikke hvordan de er brukt her.

Da skal jeg hjelpe deg bare et øyeblikk
Hadde vært enklere om du fortalte meg hvor du detter av, så skal jeg forklare derfra

Mattematika wrote:

Arete wrote:

Mattematika wrote:Bruker de fleste logaritme reglene, så hvis du ser på dem så vil du forstå

Jag så på logaritmereglene å leste en del om det før jeg skrev her. Jeg antar jeg missforstår eller mangler evnen til å kunne anvende de riktig, for jeg ser ikke hvordan de er brukt her.

Da skal jeg hjelpe deg bare et øyeblikk
Hadde vært enklere om du fortalte meg hvor du detter av, så skal jeg forklare derfra

y= a*b^x => b^x= y/a

3 = 2*4^2 => 4^2 = 3/2

Mattematika wrote: Da skal jeg hjelpe deg bare et øyeblikk
Hadde vært enklere om du fortalte meg hvor du detter av, så skal jeg forklare derfra

Jeg skjønner ikke hvordan de har fått
$$y = a \cdot {b^x}$$
til å bli:
$${b^x} = \frac{y}{a}$$

Ser heller ikke hvordan de har fått
$$x\lg b = \lg \left( {\frac{y}{a}} \right)$$
til å bli:
$$x = \frac{{\lg \frac{y}{a}}}{{\lg b}}$$

Jeg har gjort ganske mange logaritmelikninger før men ikke av denne typen så jeg er ganske usikker her.

Tanken er vel at om du har en likning som ser slik ut $\text{noe} = \text{annet}$ så er dette det
samme som $\text{annet} = \text{noe}$. Hvilken side ting står på spiller i utgangspunktet ingen rolle. $5 = x$ og $x = 5$
beskriver nøyaktig samme likning. Så

$
y = a \cdot b^x \ \Rightarrow \ \frac{y}{a} = \frac{a \cdot b^x}{a} \ \Rightarrow \ \frac{y}{a} = b^x \ \Rightarrow \ b^x = \frac{y}{a}
$

Om du vil skrive ut alt i full detalj, som regel hopper en over slike mellomregninger siden en vet hva som skjer i kulissene.
I den siste overgangen deles det på $\log b$ på begge sider, forstår du da hvorfor det blir sånn?

Nebuchadnezzar wrote:Tanken er vel at om du har en likning som ser slik ut $\text{noe} = \text{annet}$ så er dette det
samme som $\text{annet} = \text{noe}$. Hvilken side ting står på spiller i utgangspunktet ingen rolle. $5 = x$ og $x = 5$
beskriver nøyaktig samme likning. Så

$
y = a \cdot b^x \ \Rightarrow \ \frac{y}{a} = \frac{a \cdot b^x}{a} \ \Rightarrow \ \frac{y}{a} = b^x \ \Rightarrow \ b^x = \frac{y}{a}
$

Om du vil skrive ut alt i full detalj, som regel hopper en over slike mellomregninger siden en vet hva som skjer i kulissene.
I den siste overgangen deles det på $\log b$ på begge sider, forstår du da hvorfor det blir sånn?

Endelig en som kan forklare bedre enn meg

Nebuchadnezzar wrote:Tanken er vel at om du har en likning som ser slik ut $\text{noe} = \text{annet}$ så er dette det
samme som $\text{annet} = \text{noe}$. Hvilken side ting står på spiller i utgangspunktet ingen rolle. $5 = x$ og $x = 5$
beskriver nøyaktig samme likning. Så

$
y = a \cdot b^x \ \Rightarrow \ \frac{y}{a} = \frac{a \cdot b^x}{a} \ \Rightarrow \ \frac{y}{a} = b^x \ \Rightarrow \ b^x = \frac{y}{a}
$

Om du vil skrive ut alt i full detalj, som regel hopper en over slike mellomregninger siden en vet hva som skjer i kulissene.
I den siste overgangen deles det på $\log b$ på begge sider, forstår du da hvorfor det blir sånn?

Det gir mening. Jeg vet at det går an å bytte om på sidene av en likning, men jeg skjønte ikke helt hvorfor de hadde gjort det her, eller om det var en grunn til det i det hele tatt.
Når det gjelder siste del av likningen er jeg ikke 100% sikker. Men det virker som om vi bruker regelen ${a^x} = b \Leftrightarrow x = \frac{{\lg b}}{{\lg a}}$ uten å si noe sikkert. Det hadde hjulpet om du utvidet i detalj her og.

Grunnen til at de får b^x på VS, er fordi de skal ha x uttrykt ved y, a og b. For å få x alene må man derfor få ned x-en og dele på lg b. Først da har man uttrykt x ved a, b og y.

Arete wrote:
Det gir mening. Jeg vet at det går an å bytte om på sidene av en likning, men jeg skjønte ikke helt hvorfor de hadde gjort det her, eller om det var en grunn til det i det hele tatt.
Når det gjelder siste del av likningen er jeg ikke 100% sikker. Men det virker som om vi bruker regelen ${a^x} = b \Leftrightarrow x = \frac{{\lg b}}{{\lg a}}$ uten å si noe sikkert. Det hadde hjulpet om du utvidet i detalj her og.

Ideen er at $\log x$ og $e^x$ er omvendte operasjoner (Man sier ofte at disse er inverse). Det betyr at $\log e^x = x$ og $e^{\log x} = x$.
Så dersom en tar logaritmen på begge sider av likningen får vi

$a^x = b \ \Leftarrow \ \log a^x = \log b \ \Leftarrow \ x \log a = \log b$

usw. Her ble det bare brukt at $\log x^y = y \log x$ som er en av de fundamentale egenskapene du bør vite at logaritmer har =)

Fysikkmann97 wrote:Grunnen til at de får b^x på VS, er fordi de skal ha x uttrykt ved y, a og b. For å få x alene må man derfor få ned x-en og dele på lg b. Først da har man uttrykt x ved a, b og y.

Mulig det er jeg som missforstår men, vi trenger ikke å snu på likningen slik du sier.
Det er jo akkurat det samme om vi får x på høyre eller venstre side.

Det er jo det samme om vi skriver:
$$\eqalign{
& \frac{y}{a} = {b^x} \cr
& \lg \frac{y}{a} = x\lg b \cr
& \frac{{\lg \left( {\frac{y}{a}} \right)}}{{\lg b}} = x \cr} $$

Eller om vi skriver
$$\eqalign{
& {b^x} = \frac{y}{a} \cr
& x\lg b = \lg \frac{y}{a} \cr
& x = \frac{{\lg \left( {\frac{y}{a}} \right)}}{{\lg b}} \cr} $$

Ja, men jeg forklarte bare hvorfor løsningsforslaget gjorde dette. Og det er fordi mange liker å ha x på venstre side. Om du ikke bytter side skal ikke ha noe å si.