matematikk.net

Hei! Denne oppgaven ble gitt som en eksempeloppgave på del 1 R2. Jeg lurer på om noen ser en enklere fremgangsmåte som ikke involverer digitalehjelpemidler? Ser frem til svar

En geometrisk rekke har seks reelle, positive ledd. Får oppgitt følgende [tex]a_{1}=\frac{8}{x^{2}}, a_{6}=\frac{x^{3}}{4}, a_{5}-a_{1}=3[/tex], og oppgaven er bl.a. å finne en eksakt verdi for x.

Begynner med å finne et uttrykk for k ettersom [tex]a_{6}=a_{1}\cdot k^{5}. k=\sqrt[5]{\frac{x^{5}}{32}} = \frac{x}{2}[/tex]. Siden [tex]a_{5}[/tex] kan skrives som [tex]a_{5}=3+a_{1}[/tex], finner jeg enda et uttrykk for k; [tex]k=\frac{a_{6}}{a_{5}}=\frac{x^{5}}{32+12x^{2}}[/tex]. Setter disse to uttrykkene for k lik hverandre og får denne likningen; [tex]a_{6}=a_{1}\cdot k^{5} \Rightarrow \frac{x^{3}}{4}=\frac{8}{x^{2}}\cdot (\frac{x^{5}}{12x^{2}+32})^5[/tex]. Løser denne likningen i CAS i Geogebra og får [tex]x=\pm 2\sqrt{2}[/tex].

Tja, du kan jo bruke likningen $a_5 - a_1 = 3$ til å bestemme $x$-verdien. Verdien til $a_1$ vet jo du og
$a_5 = k^4 a_1 = (x/2)^4 (8/x^2)$ med andre ord så kan $a_5 - a_1 = 3$ skrives som

$ \hspace{1cm}
\frac{x^2}{2} - \frac{8}{x^2} = 3
$

Setter du $x^2 = u$ får du en enkel likning å løse =) Klarer du resten da?

Supert! Takk for raskt svar. Ja, den fremgangsmåten var enklere å løse for hånd. Jeg gjorde følgende: [tex]a_{5}=a_{1}\cdot k^{4} \Rightarrow \frac{8x^{4}}{16x^{2}}= \frac{x^{2}}{2}. a_{5}-a_{1}=3 \Rightarrow \frac{x^{2}}{2}-\frac{8}{x^{2}}.[/tex] Substituerte [tex]x^{2}[/tex] med u og løste [tex]\frac{1}{2}u-3u-8=0[/tex] med abc-formelen og fikk [tex]u_{1}=8 (\vee u_{2}=-2). x=\pm \sqrt{8}=2\sqrt{2}[/tex].