Hei 35hju,
Her er en løsning på oppgaven din - der jeg går ut ifra at du mener ‘høyde’ i stedet for ‘lengde’ i den siste setningen du skriver.
Utgangspunkt:
Vi ser for oss at kjeglen står med flaten opp og spissen ned.
Forutsetninger:
1. Alle kulene skal være like store, med ‘radius’ større enn 0.
2. Alle kulene i hver enkelt ‘etasje’ for seg skal ha midtstikket i samme høyde.
3. Kulene i hver ‘etasje’ skal møte hverandre innbyrdes i ‘etasjen’. Kulen som ligger i bunn, de kuler som ligger ytterst mot kjeglen i hver ‘etasje’ for seg, og de kuler øverst, skal møte innsiden til kjeglen.
Regler:
1. Alltid er det rom til minst én kule dersom vinkelen i spissen av kulen er større enn 0 grader og mindre enn 180 grader.
2. I andre ‘etasje’ kan vi ha fra og med 2 kuler til og med 5 kuler. 6 kuler krever at de legges rundt den første kulen på en flate, og er derfor umulig.
3. ‘Etasjene’ vil alltid ha mindre lengde innbyrdes seg imellom fra midtstikk til midtstikk enn 2 gangar ‘radius‘ til kulene, og større lengde enn 0.
4. Lengden mellom midtstikket til alle kuler innbyrdes hver ‘etasje’ vil alltid være mindre enn 2 ganger ‘radius’ til kulene. Dette på grunn av at vinkelen i spissen er mindre enn 180 grader, som medfører at vi aldri kan legge to eller flere kuler i én ‘etasje’ rundt en kule i en ‘etasje’ lavere i samme høyde.
5. Vinkelen i spissen av kjeglen har en vinkel større enn 0 grader, og mindre enn 180 grader (Tillegg; foruten blir kjeglen en strek eller en flate).
Fremgangsmåte:
1. Vi lar høyden til kjeglen være uendeleg høy, og endrer den til slutt slik at kulene i den øverste ‘etasjen’ møter toppen, altså flaten til kjeglen. Når vi gjør dette er størrelsen til kulene ubetydelig; den kan være hvilken som helst så lenge kulene har en ‘radius’ større enn null.
2. Vi begynner med en kjegle som har en vinkel i spissen så stor som mulig, sagt på en annen måte så nær som 180 grader som mulig.
3. Første ‘etasje’: Vi legger den første kulen ned i kjeglen.
4. Andre ‘etasje’: Skal vi ha flere ‘etasjer’, legger vi først 2, 3, 4 eller 5 kuler i den andre ‘etasjen’. Dette er alltid mulig så lenge vinkelen er så stor som mulig, altså tilnærmet lik 180. Hadde vi begynt med en mindre vinkel - kunne noen av disse mengdene blitt umulig å legge ned i kjeglen på dette punkt i fremgangsmåten.
5. Tredje ‘etasje’: Deretter alt etter hvor mange kuler vi nå har valgt i andre ‘etasje’, kan vi forsøke oss frem til hvor mange kuler tredje ‘etasje’ kan ha ved å gjøre følgende; 1. vi legger til fra 2 kuler og oppover, og her kan vi forsøke oss frem først med 2, og stadig øke mengden med 1 dersom den forrige ikke var mulig, 2. vi minker vinkelen i kjeglen inntil alle forutsetninger innfris for den valgte mengden kuler. Dersom noen forutsetninger ikke er innfridd når vinkelen i spissen er tilnærmet 0, eller da forminsket så mye at vi noen forutsetninger har blitt brutt - kan mengden kuler valgt ikke brukes.
6. Fjerde ‘etasje’ og oppover: Vinkelen må nå være lik som funnet for tredje ‘etasje’, og derfor kan vi her kun legge til en mengde kuler foruten å endre vinkelen i spissen av kjeglen. Vi kan begynne med 2 kuler, og øke med 1, inntil kulene i valgt ‘etasje’ har innfridd, alle forutsetningene, eller brutt forutsetningene ved at mengden kuler er for stor.
7. Dersom en ‘etasje’ større enn 2, ikke innfrir forutsetningene uansett valgt mengde kuler, må vi fjerne alle kulene i den siste ‘etasjen’ vi har forsøkt å finne en mengde kuler til, og gå videre til punkt 8 i fremgangsmåten.
8. Høyden til kjeglen: Alt etter hvor mange ‘etasjer’ vi har valgt, endrer vi nå høyden til kjeglen slik at flaten til kjeglen møter toppen av den øverste ‘etasjen’.
9. I dette punkt har vi nå funnet en kjegle med en mengde kuler, der hvor alle forutsetningene er innfridd.
Mulige sammensetninger av mengde kuler og mengde ‘etasjer’:
I utviklingen av forutsetningene, reglene og fremgangsmåten, ser det ut til at disse sammensetningene er mulig for kjeglen (tallene er ordnet slik at første enkelttal på hver linje er første ‘etasje’, neste er andre ‘etasje’ og så videre, der enkelttalene står for mengden kuler i hver ‘etasje’):
1
1,2
1,3,7
1,4
1,5
Avslutning:
Dette er noe som er skrevet over kort tid, og som jeg selv ikke har grundig kvalitetssikret. Derfor kan det forventes at dette kan innholde feil - men jeg er i oppfatning av at dette svaret er bedre enn ingen svar - og det er spennende nå å se om andre i dette forumet vil kunne forbedre forutsetningene, reglene og fremgangsmåten - og kanskje klare å finne alle de ulike mulige sammensetningen av mengde kuler og mengde ‘etasjer’ til kjeglen. Det kan blant annet legges til at denne fremgangsmåten kan brukes til formålet å svare på oppgaven - men at det er også mulig å løse oppgaven ved hjelp av andre fremgangsmåter - men de vil kanskje ikke være like enkle å forstå.
Med Vennlig Hilsen
Tom André Tveit
http://www.verda.no/
Fagspørsmål kan sendes til:
http://www.verda.no/bokmal/tjenester/fagsporsmal.php