matematikk.net

Hei! har litt problemer med en oppgave, den er slik:
Finn nullpunkter, ekstremalpunkter, vendepunkter og verdimengde for disse funksjonene
a) 0.5(e^x+e^-x)
b) 0.5(e^x-e^-x)
Jeg vet jo hvordan man løser oppgaven på "vanlige" eksponentialfunksjoner, men jeg skjønner ikke helt grunnen til at den første bare har ekstremalpunkt, mens den siste har nullpunkt og vendepunkt.. har merket at når jeg dobbeltderiverer er det den samme som funksjonen, og ser at det er en sammenheng mellom dem, men klarer ikke helt å se logikken bak det.. noen som har kloke ord og løsningsforslag?

Hei

Funksjonen [tex]0.5(e^x + e^{-x})[/tex] vil alltid være positiv.
Dermed vil den ikke ha noe nullpunkt.
Som du selv sier så vil den dobbeltderiverte blir akkurat den samme funksjonen, dermed har du heller ingen vendepunkt.

Ok! er det bare en slags regel da, at e^-x alltid er positiv?

Nei, men det er ikke så vanskelig å se. $a^{-1}$ er det samme som $1/a$. Slik at
$e^{-x} = 1/e^x$. Dersom $e^{-x} = 0$ så må $1/e^x = 0$ eller med andre ord $1 = 0$ som er en selvmotsigelse.
Vi kan gange med $e^x$ på begge sider siden $e^x > 0$ for alle $x$. Alternativt så kan en argumentere med at
$1/e^x$ er en synkende funksjon (siden eksponentialfunksjonen er voksende) og dermed så vil $e^{-x}$ bli mindre og mindre
men aldri helt nå $0$ (siden $e^x$ aldri blir uendelig)

Dette er jo bare sinh og cosh. De har fått disse navnene av en grunn. De har faktisk samme vendepunkt, ekstremalpunkt, nullpunkt etc som sin og cos i visse områder, for eksempel kanskje -pi/2<x<pi/2

Om hvorfor [tex]e^{\pm x}[/tex] er alltid positiv:
1. [tex]e^{x}\neq 0 \forall x \epsilon \mathbb{R}[/tex]
2. [tex]e^{x}[/tex] er kontinuerlig
3. [tex]e^{0}=1[/tex]

Derfor er [tex]e^{x}[/tex] alltid positiv.