matematikk.net

Fikk en liten utfordring av en kompis. Finn det neste tallet i denne rekka: 1, 9, 36, 100, 225 ved å lage en ekplisitt formel.
I og med at jeg spør her på forumet, så er det litt av ein utfordring

Ser at differansen mellom tallene [tex]1,9,36,100,225[/tex] blir følgende: [tex]8,27,64,125[/tex]
Altså [tex]225=1+8+27+64+125[/tex]
Men tallene kan jo skrives som: [tex]1^{2}+3^{2}+6^{2}+10^{2}+15^{2}[/tex]
Dette er litt interessant fordi det ser ut som at differansen mellom tallene er kvadratet av de første trekanttallene? 1, 3, 6, 10, 15, 21 osv. men da må det neste tallet i rekken bli kvadratet av [tex]21^2[/tex]= 441? eller? men hvordan lager jeg en formel?

(Har ikke lært noe særlig utenom 1T-kurset) begynner på R1 etter sommer...

Det du sier stemmer. Klarer du å se en sammenheng med kubikktall?

Dersom du kjenner til trekanttallene, burde du vel også kanskje kjenne til en formel for dem?:)

Fibonacci92 wrote:Det du sier stemmer. Klarer du å se en sammenheng med kubikktall?

Dersom du kjenner til trekanttallene, burde du vel også kanskje kjenne til en formel for dem?:)

Tar resten her. Jeg skrev i 10 minutter og plutselig ble alt borte....

Ved brøksammenhengen tok jeg summen av to tall, summen av tre tall, summen av fire tall osv. Jeg gjorde det samme med de naturlige tallene og sammenlignet, altså [tex]1+8+27+64+125=\frac{225}{15}*(1+2+3+4+5)[/tex]
Nå mp jeg se på brøkene mine og prøver å finne en sammenheng?
Jeg er på bærtur og er veldig forvirret.. med framgangsmåten her....
For øvrig er det sent nå, og således klarer jeg ikke å tenke helt skikkelig.
Har du noen tips til hvordan jeg skal videre angripe?
[tex]1^3,2^3,3^3,4^3,5^3.....n^3[/tex]
[tex]1,2,3,4,5......\frac{n*(n+1)}{2}[/tex]
kan jeg på noen måte manipulere disse to formlene?

Du er så næææææær... Jeg vil så gjerne at du skal klare den siste lille resten selv, men om du ikke gidder så er det bare å lese videre. Forumet skulle hatt spoiler tags :S.

Først hvordan formelen funker:
[tex]1,\quad 3,\quad 6,\quad 10,\quad 15 ...[/tex]
[tex]1,\quad 1+2,\quad 1+2+3,\quad 1+2+3+4,\quad 1+2+3+4+5, ...[/tex]
[tex]n,\quad 1+n,\quad 1+2+n,\quad 1+2+3+n,\quad 1+2+3+4+n, ...[/tex]
[tex]n,\quad (n-1)+n,\quad (n-2) + (n-1) + n,\quad (n-3) + (n-2) + (n-1) + n, ...[/tex]
Nå som du kanskje skjønner så har vi fått et nytt "problem". For hvert ledd den opprinnelige rekka vår øker (trekant-rekka) får vi en ny rekke. Den nye rekka øker med et ledd(en mindre enn forrige) så ved det n-te leddet i den opprinnelige rekka vil vi måtte summere en n ledd lang "ny"rekke. Fordelen med den nye rekka vår er at den er aritmetisk med en differanse lik -1. Vi kan altså utnytte summen av en aritmetisk rekke:
(jeg har på følelsen at dette ble crap forklart så bare å spørre hvis det var uklart)
[tex]S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} = \dfrac{n(2a_1-n+1)}{2}[/tex]
Dette vil si at det n-te leddet i rekka vår har summen:
[tex]\dfrac{n(2n-n+1)}{2} = \dfrac{n(n+1)}{2}[/tex]
(fordi d = -1)

Og videre fra der du står fast:
Du har formelen for grunntallet. Vi tar rett og slett kvadratet av formelen og voila.
[tex]\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \dfrac{n(n+1)^2}{2^2} = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}[/tex]
Bare å sjekke at den fungerer.

Gjest wrote: Nå som du kanskje skjønner så har vi fått et nytt "problem". For hvert nye ledd i den opprinnelige følgen* vår får vi en ny rekke. Den nye rekka øker med et ledd(en mindre enn forrige) så ved det n-te leddet i den opprinnelige følgen* vil vi måtte summere en n ledd lang rekke. Fordelen med den nye rekka vår er at den er aritmetisk med en differanse lik -1. Vi kan altså utnytte summen av en aritmetisk rekke:

Endret bare rekke til følge for good measure.

Gjest wrote:Du er så næææææær... Jeg vil så gjerne at du skal klare den siste lille resten selv, men om du ikke gidder så er det bare å lese videre. Forumet skulle hatt spoiler tags :S.

Først hvordan formelen funker:
[tex]1,\quad 3,\quad 6,\quad 10,\quad 15 ...[/tex]
[tex]1,\quad 1+2,\quad 1+2+3,\quad 1+2+3+4,\quad 1+2+3+4+5, ...[/tex]
[tex]n,\quad 1+n,\quad 1+2+n,\quad 1+2+3+n,\quad 1+2+3+4+n, ...[/tex]
[tex]n,\quad (n-1)+n,\quad (n-2) + (n-1) + n,\quad (n-3) + (n-2) + (n-1) + n, ...[/tex]
Nå som du kanskje skjønner så har vi fått et nytt "problem". For hvert ledd den opprinnelige rekka vår øker (trekant-rekka) får vi en ny rekke. Den nye rekka øker med et ledd(en mindre enn forrige) så ved det n-te leddet i den opprinnelige rekka vil vi måtte summere en n ledd lang "ny"rekke. Fordelen med den nye rekka vår er at den er aritmetisk med en differanse lik -1. Vi kan altså utnytte summen av en aritmetisk rekke:
(jeg har på følelsen at dette ble crap forklart så bare å spørre hvis det var uklart)
[tex]S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2} = \dfrac{n(2a_1-n+1)}{2}[/tex]
Dette vil si at det n-te leddet i rekka vår har summen:
[tex]\dfrac{n(2n-n+1)}{2} = \dfrac{n(n+1)}{2}[/tex]
(fordi d = -1)

Og videre fra der du står fast:
Du har formelen for grunntallet. Vi tar rett og slett kvadratet av formelen og voila.
[tex]\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \dfrac{n(n+1)^2}{2^2} = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}[/tex]
Bare å sjekke at den fungerer.

Hei, jeg klarte å finne en eksplisitt formel Var ikke såå vanskelig etter at jeg fått meg litt søvn. Beviset for den ekplisitte formelen for trekantall er mer vanskelig å fordøye.

[tex]1,\quad 3,\quad 6,\quad 10,\quad 15 ...[/tex]
[tex]1,\quad 1+2,\quad 1+2+3,\quad 1+2+3+4,\quad 1+2+3+4+5, ...[/tex]
[tex]n,\quad 1+n,\quad 1+2+n,\quad 1+2+3+n,\quad 1+2+3+4+n, ...[/tex]
[tex]n,\quad (n-1)+n,\quad (n-2) + (n-1) + n,\quad (n-3) + (n-2) + (n-1) + n, ...[/tex]

Jeg skjønner ikke overgangen fra linje 3 til 4? Jeg ser at når trekantrekka for hvert ledd øker så resulterer det i en ny rekke. Men ville vi måtte summere en veldig laaang rekke ved det n'te leddet ? Hva mener du med at "fordelen med rekka er at en er artimetisk?"
Kunne du være så grei å utdype deg litt her?

Drezky wrote:

Gjest wrote: [tex]1,\quad 3,\quad 6,\quad 10,\quad 15 ...[/tex]
[tex]1,\quad 1+2,\quad 1+2+3,\quad 1+2+3+4,\quad 1+2+3+4+5, ...[/tex]
[tex]n,\quad 1+n,\quad 1+2+n,\quad 1+2+3+n,\quad 1+2+3+4+n, ...[/tex]
[tex]n,\quad (n-1)+n,\quad (n-2) + (n-1) + n,\quad (n-3) + (n-2) + (n-1) + n, ...[/tex]

Jeg skjønner ikke overgangen fra linje 3 til 4? Jeg ser at når trekantrekka for hvert ledd øker så resulterer det i en ny rekke. Men ville vi måtte summere en veldig laaang rekke ved det n'te leddet ? Hva mener du med at "fordelen med rekka er at en er artimetisk?"
Kunne du være så grei å utdype deg litt her?

Dette betyr at ved det n-te leddet i følgen vil rekka du må summere være n lang med n ledd. Følgelig vil da også den "uendelige" følgen ha en rekke med uendelig mange ledd.

Overgangen mellom tredje og fjerde linje får jeg ved å uttrykke de resterende tallene vha. n. I det andre leddet av følgen([tex](n-1) + n[/tex]) er [tex]n=2[/tex] og dermed [tex](2-1) + 2 = 1+2 = 3[/tex]. Altså istedenfor å skrive [tex]1+n[/tex] skriver vi [tex](n-1) + n[/tex].

Grunnen til at jeg sier rekka er aritmetisk er fordi den minker med en konstant -1. Dette er litt kronglete å se siden n ikke er konstant, men endrer verdi for hvert ledd i følgen. Jeg tar det andre og tredje leddet i følgen for å demonstrere.
[tex]...(n_1-1) +n_1, (n_2-2) + (n_2-1) + n_2, ...[/tex] hvor [tex]n_1=n, n_2=(n+1)[/tex]
Differansen blir følgelig.
[tex](n_2-2) + (n_2-1) + n_2 - ((n_1-1) +n_1)[/tex]
[tex]n_2-2 + n_2-\cancel{1} + n_2 - 2n_1 + \cancel{1}[/tex]
[tex]3n_2 - 2(n_1 + 1)[/tex]
[tex]3(n+1)-2(n+1) = n+1[/tex]

Og her er tredje og fjerde ledd hvor [tex]n_2=n, n_3=(n+1)[/tex].
[tex](n_3-3) + (n_3-2) + (n_3-1) + n_3 - ((n_2-2) + (n_2-1) + n_2)[/tex]
[tex]4n_3-6 - 3n_2 + 3[/tex]
[tex]4n_3 - 3(n_2+1)[/tex]
[tex]4(n+1) - 3(n+1) = n+1[/tex]
Så rekka vår har en konstant økning på n+1, men nå må du huske på at n i seg selv ikke er konstant!
Og hvor mye øker n med for hvert ledd i følgen? Det blir aritmetisk og lik 1. Fordi vi begynte å telle fra n også [tex]n + (n-1), n + (n-1) + (n-2) ...[/tex] så teller vi på en måte nedover og derfor får vi istedenfor [tex]d=-1[/tex] og ikke [tex]d=1[/tex] (ettersom (n-1) < n).
Følgen har en aritmetisk utvikling med [tex]d=-1[/tex], rekkene har en utvikling lik [tex](n+1)[/tex].

Gjest wrote:

Drezky wrote:

Gjest wrote: [tex]1,\quad 3,\quad 6,\quad 10,\quad 15 ...[/tex]
[tex]1,\quad 1+2,\quad 1+2+3,\quad 1+2+3+4,\quad 1+2+3+4+5, ...[/tex]
[tex]n,\quad 1+n,\quad 1+2+n,\quad 1+2+3+n,\quad 1+2+3+4+n, ...[/tex]
[tex]n,\quad (n-1)+n,\quad (n-2) + (n-1) + n,\quad (n-3) + (n-2) + (n-1) + n, ...[/tex]

Jeg skjønner ikke overgangen fra linje 3 til 4? Jeg ser at når trekantrekka for hvert ledd øker så resulterer det i en ny rekke. Men ville vi måtte summere en veldig laaang rekke ved det n'te leddet ? Hva mener du med at "fordelen med rekka er at en er artimetisk?"
Kunne du være så grei å utdype deg litt her?

Dette betyr at ved det n-te leddet i følgen vil rekka du må summere være n lang med n ledd. Følgelig vil da også den "uendelige" følgen ha en rekke med uendelig mange ledd.

Overgangen mellom tredje og fjerde linje får jeg ved å uttrykke de resterende tallene vha. n. I det andre leddet av følgen([tex](n-1) + n[/tex]) er [tex]n=2[/tex] og dermed [tex](2-1) + 2 = 1+2 = 3[/tex]. Altså istedenfor å skrive [tex]1+n[/tex] skriver vi [tex](n-1) + n[/tex].

Grunnen til at jeg sier rekka er aritmetisk er fordi den minker med en konstant -1. Dette er litt kronglete å se siden n ikke er konstant, men endrer verdi for hvert ledd i følgen. Jeg tar det andre og tredje leddet i følgen for å demonstrere.
[tex]...(n_1-1) +n_1, (n_2-2) + (n_2-1) + n_2, ...[/tex] hvor [tex]n_1=n, n_2=(n+1)[/tex]
Differansen blir følgelig.
[tex](n_2-2) + (n_2-1) + n_2 - ((n_1-1) +n_1)[/tex]
[tex]n_2-2 + n_2-\cancel{1} + n_2 - 2n_1 + \cancel{1}[/tex]
[tex]3n_2 - 2(n_1 + 1)[/tex]
[tex]3(n+1)-2(n+1) = n+1[/tex]

Og her er tredje og fjerde ledd hvor [tex]n_2=n, n_3=(n+1)[/tex].
[tex](n_3-3) + (n_3-2) + (n_3-1) + n_3 - ((n_2-2) + (n_2-1) + n_2)[/tex]
[tex]4n_3-6 - 3n_2 + 3[/tex]
[tex]4n_3 - 3(n_2+1)[/tex]
[tex]4(n+1) - 3(n+1) = n+1[/tex]
Så rekka vår har en konstant økning på n+1, men nå må du huske på at n i seg selv ikke er konstant!
Og hvor mye øker n med for hvert ledd i følgen? Det blir aritmetisk og lik 1. Fordi vi begynte å telle fra n også [tex]n + (n-1), n + (n-1) + (n-2) ...[/tex] så teller vi på en måte nedover og derfor får vi istedenfor [tex]d=-1[/tex] og ikke [tex]d=1[/tex] (ettersom (n-1) < n).
Følgen har en aritmetisk utvikling med [tex]d=-1[/tex], rekkene har en utvikling lik [tex](n+1)[/tex].

Tusen takk for et utdypende svar! Det ble mer lettfattelig nå