matematikk.net

Oppgaven går ut på å bruke epsilon-delta-beviset for å bevise følgende.

lim (x-2)/(1+x^2)=0
x->2

Jeg sliter litt siden dette er en rasjonal funksjon. Jeg har prøvd litt rundt det her med å definere delta som mindre enn eller lik 1. Men finner ikke helt ut hvordan jeg skal bruke dette.

Hvis $\delta < 1$ så vet vi at $|x-2| < 1$. Det er det samme som at $-1 < x - 2 < 1$, som videre gir oss at $1 < x < 3$ ved å legge til 2 på begge sider. Dette kan virke noe triksete, men det er noe som kommer med erfaring. Målet med å gjøre dette er at nå kan vi finne ut hvordan nevneren vår $1 + x^2$ er begrenset når vi har sagt at $\delta < 1$; vi vet jo nå at $2 < 1 + x^2 < 10$ (kvadrer og legg til 1). Hva kan du si om hvor stor brøken $\frac{1}{1+x^2}$ blir nå? Ser du hvordan du kan gjøre resten av beviset?

Fikk til slutt dreisen på bruken av dette trikset. Takk skal du ha.