matematikk.net

Kan noen hjelpe meg med denne oppgaven her?

I alt $a · b · c$ terningformede småesker er satt sammen til en $a × b × c$
rektangulær stabel, der $a, b, c ≥ 2$. En bie befinner seg inne i en av småeskene.
Den kan fly fra en småeske til en annen gjennom et hull i veggen, men ikke
gjennom kanter eller hjørner. Den kan heller ikke fly utenfor stabelen. For
hvilke tripler $(a, b, c)$ er det mulig for bien å fly innom alle småeskene nøyaktig
én gang, og ende opp i småesken der den startet?

Jeg har så langt kommet fram til at $a\cdot b\cdot c$ må være et partal (hvis ikke: fargelegg annenhver småeske svart og hvit, og konkluder med at bia kan ikke gå fra svart til svart eske inn til startesken igjen), men jeg ser ikke helt hvordan jeg skal klare å vise at det går an når dette er tilfellet. Hovedutfordringen er vel at bia kan starte hvor som helst inne i eskestabelen, og å finne en konstruksjon som fører bia gjennom alle eskene og tilbake igjen er visst ikke så lett

Bien skal gå en rundtur innom alle boksene. Har det noe å si hvor den starter da?

Pga symmetrien i problemet kan du anta at f.eks. c er partallig. Da er det vel ganske rett frem å konstruere en generisk måte å traversere på: Siden det ikke spiller noen rolle hvor du starter kan du f.eks. starte i et av de nederste hjørnene. Deretter kan bia sno seg gjennom hele det nederste laget av bokser i en slags s-form, før den flyr opp til neste lag. Ved å endre retning i annethvert lag av bokser er det lett å konstruere en vei gjennom alle boksene én gang, slik at du etterlater alle boksene rett ovenfor startboksen i alle de midtre lagene, og da kan disse brukes til den siste delen av flyturen.

Aha... Tusen takk for hjelpen!