matematikk.net

Driver med oppgave angående skjæringssetningen.
Skal vise at [tex]e^{-x} = x[/tex] er et punkt på (0,1).
Setter [tex]f(x) = e^{-x}-x = \frac{1}{e^{x}}-x[/tex].

Vet at det må være et punkt f(c) mellom f(a) og f(b).
Finner følgende:
f(1) = -0,63
f(0) = 1


Hvordan kan jeg så vise at
f(1) < f(c) < f(0) ?
Vet ikke helt hva jeg må gjøre videre.
Er det jeg har gjort riktig så langt?

Du er nesten i mål. Det eneste som gjenstår er konklusjonen om at det må eksistere en 0<c<1 slik at f(c)=0. Det følger av kontinuiteten til f(x) samt skjæringssetningen.

Hvorfor må f(c) være lik null?
Kan det ikke være hva som helst, så lenge det er mellom f(1) og f(0)?

Jeg antar at du ønsker å vise at det finnes en t slik at e^t = t.

Det er det samme som at e^t-t = 0.

Derfor ønsker du å vise at det finnes nullpunkter til funksjonen f(x) = e^x-x.

At f.eks. e^x - x = 0.4 har en løsning hjelper deg ikke. Det sier bare at det finnes en t slik at e^t = t + 0.4, som ikke var det vi ville ha.

At det fins en c slik at f(c)=0 er ekvivalent med at c er en løsning på likningen $e^{-x}=x$.

Hva denne verdien c er, får vi dog ikke noe svar på. Hensikten med skjæringssetningen er å bevise eksistensen av en løsning, ikke å finne løsningen eksplisitt. Det eneste vi kan si her er at c ligger mellom 0 og 1.