matematikk.net

Hei, har følgende diff. likning:
(Spørsmål lengre ned)

[tex]S'(t) = 20 - 0.05S(t)[/tex]

Løsning:
[tex]S'(t) = 20 - 0.05S(t)[/tex] gir [tex]\frac{dS}{dt} = -0.05(S-400)[/tex] gir [tex]\frac{dS}{S-400} = -0.05 dt[/tex]

videre...
[tex]\int \frac{1}{S-400} dS[/tex] gir [tex]\int -0.05 dt[/tex] gir [tex]ln|S(t)-400|[/tex] gir [tex]-0.05t + C[/tex]

Så er spørsmålet mitt: Hvorfor i neste steg involveres den naturlige logaritmen?:
[tex]e^{ln|S(t) - 400|}[/tex] gir [tex]|S(t) - 400|[/tex] gir [tex]e^{-0.05t + C}[/tex] gir [tex]e^{-0.05t} * e^{C}[/tex] gir [tex]Ke^{-0.05t}[/tex]

svar til slutt:
[tex]S(t) = 400 - Ke^{-0.05t}[/tex]

Jeg sjønner ikke hvorfor den naturlige logaritmen e blandes inn i resultatet av det ubestemte integralet. Skal
man ikke bruke resultatet av integralet inn i den opprinnelige diff. ligningen? Kan noen forklare?

Takk!

iBrus wrote:Hei, har følgende diff. likning:
(Spørsmål lengre ned)

[tex]S'(t) = 20 - 0.05S(t)[/tex]

Løsning:
[tex]S'(t) = 20 - 0.05S(t)[/tex] gir [tex]\frac{dS}{dt} = -0.05(S-400)[/tex] gir [tex]\frac{dS}{S-400} = -0.05 dt[/tex]

videre...
[tex]\int \frac{1}{S-400} dS[/tex] gir [tex]\int -0.05 dt[/tex] gir [tex]ln|S(t)-400|[/tex] gir [tex]-0.05t + C[/tex]

Så er spørsmålet mitt: Hvorfor i neste steg involveres den naturlige logaritmen?:
[tex]e^{ln|S(t) - 400|}[/tex] gir [tex]|S(t) - 400|[/tex] gir [tex]e^{-0.05t + C}[/tex] gir [tex]e^{-0.05t} * e^{C}[/tex] gir [tex]Ke^{-0.05t}[/tex]

svar til slutt:
[tex]S(t) = 400 - Ke^{-0.05t}[/tex]

Jeg sjønner ikke hvorfor den naturlige logaritmen e blandes inn i resultatet av det ubestemte integralet. Skal
man ikke bruke resultatet av integralet inn i den opprinnelige diff. ligningen? Kan noen forklare?

Takk!

Jeg tror du bare forvirrer deg selv. Du ønsker å løse oppgaven for S og få svaret på formen [tex]S(t) = noe[/tex], men for å gjøre det må du først løse opp denne \frac{dS}{S-400} (den deriverte). Du antideriverer for å få bort den deriverte og kommer fram til at [tex][tex][/tex]ln|S(t)-400|= -0.05t + C (fordi du integrer på begge sider).

Fremdeles mangler du å få svaret på den formen du ønsker som er [tex]S(t) = noe[/tex] så du må derfor løse opp denne ekle logaritmen også [tex]ln|S(t)-400|[/tex]. Ettersom det står ln og ikke lg, må du gjøre dette ved hjelp av e og ikke 10.

Det er ikke noe sted å "bruke resultatet av integralet i den første ligningen" ettersom det du integrerer for å finne er [tex]\dfrac{1}{S-400}[/tex] og ikke [tex]S(t), S'(t)[/tex] eller [tex]20[/tex]. Du blander heller ikke e inn i resultatet av integralet, men heller i ligningen for å få den over på den ønskede formen [tex]S(t) = noe[/tex]. Når du har gjort det, da kan du "bruke resultatet i den første ligningen", men ikke før.

Å herregud så opplagt nå ja.

Takker for tilbakemelding.

iBrus