Page 1 of 1
Representere sinus-Fourierrekke som sum
Posted: 10/09-2015 16:40
by christianac2
Hei, sliter litt med en del av et større problem her.
Skal finne [tex]a_n[/tex] som del av en Fourierrekke og har kommet frem til følgende
[tex]a_n = \frac{2}{\pi n}\Big(-\sin \frac{\pi n}{2}\Big)[/tex].
Jeg sliter med å skrive om uttrykket slik at:
1) Hver partall = 0
2) Annenhvert oddetall har alternerende fortegn
For eksempel
[tex]n = 1 \implies -\frac{2}{\pi}\\
n = 2 \implies 0\\
n = 3 \implies \frac{1}{3 \pi}\\
n = 4 \implies 0\\
n = 5 \implies -\frac{1}{5 \pi}\\[/tex]
Noen som kan hjelpe?

Re: Representere sinus-Fourierrekke som sum
Posted: 10/09-2015 16:57
by zell
[tex]\sin{\left(\frac{n\pi}{2}\right)}[/tex] vil være [tex]0 \ \forall\ n = 2m[/tex] hvor [tex]m\in\mathbb{N}[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^\infty -\frac{2}{n\pi}\sin{\left(\frac{n\pi}{2}\right)}[/tex]
Innfør [tex]n = 2m-1[/tex] slik at vi kun summerer over oddetallene.
For m=1 er n=1 og sinus-leddet skal være positivt, for m=2 er n=3 og sinusleddet skal være negativt, osv. Du får:
[tex]\sum_{m=1}\frac{2}{\pi(2m-1)}(-1)\cdot(-1)^{m+1} = \sum_{m=1}\frac{2}{\pi(2m-1)}(-1)^{m+2}[/tex]
Re: Representere sinus-Fourierrekke som sum
Posted: 10/09-2015 17:33
by Guest
zell wrote:[tex]\sin{\left(\frac{n\pi}{2}\right)}[/tex] vil være [tex]0 \ \forall\ n = 2m[/tex] hvor [tex]m\in\mathbb{N}[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^\infty -\frac{2}{n\pi}\sin{\left(\frac{n\pi}{2}\right)}[/tex]
Innfør [tex]n = 2m-1[/tex] slik at vi kun summerer over oddetallene.
For m=1 er n=1 og sinus-leddet skal være positivt, for m=2 er n=3 og sinusleddet skal være negativt, osv. Du får:
[tex]\sum_{m=1}\frac{2}{\pi(2m-1)}(-1)\cdot(-1)^{m+1} = \sum_{m=1}\frac{2}{\pi(2m-1)}(-1)^{m+2}[/tex]
To spørsmål:
Er det nødvendig å skrive om i dette tilfellet? Kan man ikke bare la uttrykket stå som det er, eller blir det fyfy? Om det absolutt er nødvendig kunne man ikke heller bare skrevet [tex]\sum_{n=1, 3, 5 ..}^\infty[/tex]? Jeg er enig i at variabelbytte ser litt bedre ut da
Jeg spør ikke fordi jeg tror det er feil, bare lurer.
Noe jeg faktisk tror er feil, men kamuflerer som et spørsmål er om ikke[tex](-1)^{m+2}[/tex] blir litt overflødig ettersom [tex](-1)^m = (-1)^{m+2} = (-1)^{m+4}[/tex]?
Re: Representere sinus-Fourierrekke som sum
Posted: 10/09-2015 23:51
by zell
Rett som du sier, man kunne like gjerne skrevet summen med sinus-leddet. Men, stort sett blir man bedt om å skrive det om (sikkert fordi det ser penere og ryddigere ut)..
Når det gjelder [tex](-1)^{m+2}[/tex] har du helt rett, det kan like gjerne skrives som [tex](-1)^m[/tex]..