Page 1 of 2

Transcendentale funksjoner

Posted: 12/09-2015 14:31
by ThomasSkas
Hei!!

Jeg holder på med transcendentale funksjoner, og har kommet over følgende:

Betrakt alle punktene [tex](x,y)[/tex] i området [tex]x,y\geq 0[/tex] som tilfredsstiller

[tex]8x^3+10x^2y+axy^2+by^3=1[/tex]

hvor [tex]a,b> 0[/tex]
Du kan anta at i dette området så er [tex]y=f(x)[/tex] for en injektiv (one-to-one) funksjon [tex]f[/tex].
Finn verdiene for [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] slik at [tex]f[/tex] er selv-invers. For en slik [tex]f[/tex], finn verdien til [tex]f'(0)[/tex]

Hva vet jeg? Jo;

Injektiv funksjon vil si at (tror jeg) [tex]x_{1}\neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})[/tex]

At den deriverte til en invers funksjon er gitt ved:

[tex]f^{-1}'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}[/tex]

Og at en invers funksjon er generelt gitt ved:

[tex]y=f(x)\Leftrightarrow x=f^{-1}(y)[/tex]

Re: Transcendentale funksjoner

Posted: 13/09-2015 02:25
by ThomasSkas
Gir en liten bump her. :)

Re: Transcendentale funksjoner

Posted: 13/09-2015 14:57
by ThomasSkas
?? :)

Re: Transcendentale funksjoner

Posted: 13/09-2015 20:58
by Gustav
Vi har altså
$8x^3+10x^2f(x)+axf(x)^2+bf(x)^3=1$.

Gjør substitusjonen $x\to f(x)$. Siden f er selvinvers er f(f(x))=x for alle x, dermed fås likningen

$8f(x)^3+10xf(x)^2+ax^2f(x)+bx^3=1$.

Sett inn egnede verdier for x i begge likningene for å finne verdiene av a og b.

Re: Transcendentale funksjoner

Posted: 13/09-2015 23:35
by ThomasSkas
plutarco wrote:Vi har altså
$8x^3+10x^2f(x)+axf(x)^2+bf(x)^3=1$.

Gjør substitusjonen $x\to f(x)$. Siden f er selvinvers er f(f(x))=x for alle x, dermed fås likningen

$8f(x)^3+10xf(x)^2+ax^2f(x)+bx^3=1$.

Sett inn egnede verdier for x i begge likningene for å finne verdiene av a og b.
Jeg tror jeg har skjønt hva du gjorde her, med tanke på at det blir oppgitt om selvinvers. Men hvilke egnede verdier for x har jeg her, som er knyttet til likningen over og under?

Re: Transcendentale funksjoner

Posted: 13/09-2015 23:50
by Guest
Hva med x = 0 i begge likningene plutarco skrev?

Re: Transcendentale funksjoner

Posted: 14/09-2015 00:31
by ThomasSkas
[tex]x=0[/tex] i den første likningen gir meg [tex]bf(0)^3=1[/tex]
x = 0 i den andre likningen gir meg [tex]8f(0)^3=1\Rightarrow f(0)^3=1/8[/tex]
Setter jeg dette inn i den første får jeg: [tex]b\cdot \frac{1}{8}=1\Rightarrow b=8[/tex]

Hehe, men der stopper det. For a er jeg usikker. Kanskje derivasjon for å finne a?

Re: Transcendentale funksjoner

Posted: 14/09-2015 03:23
by Gustav
ThomasSkas wrote:[tex]x=0[/tex] i den første likningen gir meg [tex]bf(0)^3=1[/tex]
x = 0 i den andre likningen gir meg [tex]8f(0)^3=1\Rightarrow f(0)^3=1/8[/tex]
Setter jeg dette inn i den første får jeg: [tex]b\cdot \frac{1}{8}=1\Rightarrow b=8[/tex]

Hehe, men der stopper det. For a er jeg usikker. Kanskje derivasjon for å finne a?
Sett inn hva som helst for x, så får du to likninger med to ukjente (a og f(x)). Eventuelt kan du trekke likningene fra hverandre, og faktorisere.

For å finne f'(0) må du derivere en av likningene jeg skrev opp implisitt, og deretter bruke verdien av f(0) du fant her. Du må til slutt løse en andregradslikning for f'(0).

Re: Transcendentale funksjoner

Posted: 14/09-2015 14:44
by ThomasSkas
plutarco wrote:
ThomasSkas wrote:[tex]x=0[/tex] i den første likningen gir meg [tex]bf(0)^3=1[/tex]
x = 0 i den andre likningen gir meg [tex]8f(0)^3=1\Rightarrow f(0)^3=1/8[/tex]
Setter jeg dette inn i den første får jeg: [tex]b\cdot \frac{1}{8}=1\Rightarrow b=8[/tex]

Hehe, men der stopper det. For a er jeg usikker. Kanskje derivasjon for å finne a?
Sett inn hva som helst for x, så får du to likninger med to ukjente (a og f(x)). Eventuelt kan du trekke likningene fra hverandre, og faktorisere.

For å finne f'(0) må du derivere en av likningene jeg skrev opp implisitt, og deretter bruke verdien av f(0) du fant her. Du må til slutt løse en andregradslikning for f'(0).
Jeg gjorde det første du sa, valgte x = 1, og løste i Geogebra, men fikk ikke noe svar:

Skjermdump: https://gyazo.com/69a6ad2b22e42b19762b3753ffb9d030

Og spørsmål, hvis [tex]f(0)^3=\frac{1}{8}[/tex] så må [tex]f(0)=\frac{1}{2}[/tex] ?

Re: Transcendentale funksjoner

Posted: 14/09-2015 16:49
by Gustav
Hvis vi først trekker den andre likningen fra den første får vi

$10x^2f(x)+axf(x)^2-10xf(x)^2-ax^2f(x)=0 $, som kan skrives

$(10-a)(x^2f(x)-xf(x)^2)=0$.

Setter vi f.eks. x=1, fås

$(10-a)(f(1)-f(1)^2)=0$.

Videre må du drøfte de to tilfellene som vi nå har. hint: En av faktorene må være 0.

For øvrig en veldig fin oppgave! Hvor er den hentet fra?

EDIT: Det blir riktig at $f(0)=\frac12$ ja!

Re: Transcendentale funksjoner

Posted: 14/09-2015 20:01
by ThomasSkas
[tex](10-a)(f(1)-f(1)^2)=0[/tex]

Da har vi at:

[tex]10-a =0[/tex]

[tex]a=10[/tex]

Da er i hvertfall a = 10

og

[tex]f(1)-f(1)^2=0[/tex]

[tex]f(1)=f(1)^2[/tex]

Jeg synes også oppgaven er interessant da jeg ikke har vært borti den før. Den er hentet fra NTNU, så jeg gjetter på at den er laget av noen folk i det matematiske instituttet, om ikke de har hentet det videre fra andre kilder.

Re: Transcendentale funksjoner

Posted: 14/09-2015 20:43
by Gustav
Du er ikke helt ferdig her. Hva om $f(1)=f(1)^2 $ ? Hva vil dette medfølge?

Re: Transcendentale funksjoner

Posted: 14/09-2015 23:34
by ThomasSkas
plutarco wrote:Du er ikke helt ferdig her. Hva om $f(1)=f(1)^2 $ ? Hva vil dette medfølge?
Hm, jeg la merke til den da jeg satte faktorene lik null. Det jeg forstår er jo at f(1) er det samme som å regne ut f(1), og deretter kvadrere svaret. Da tolker jeg at det må bety at f(1) = 1 ?

Re: Transcendentale funksjoner

Posted: 15/09-2015 00:09
by Gustav
f(1) kan enten være 0 eller 1. Prøv å sett inn disse mulighetene i den aller første likningen for å utlede en motsigelse.

Re: Transcendentale funksjoner

Posted: 15/09-2015 19:53
by ThomasSkas
plutarco wrote:f(1) kan enten være 0 eller 1. Prøv å sett inn disse mulighetene i den aller første likningen for å utlede en motsigelse.
Hm, jeg satte f(1) = 0, og da fikk jeg at venstre side = høyre side = 0.
For f(1) = 0, får jeg 10+a-10-a = 0, altså 0 også her.
Vet ikke hvordan det blir en selvmotsigelse, for begge går. :P