matematikk.net

Hei igjen!
Jeg lurer på en oppgave her som jeg har prøvd meg på:

La [tex]a\geq 1[/tex] være et vilkårlig heltall, og la [tex]f(x)=sinh(a\cdot lna)[/tex] og [tex]g(x)=(x^{a}-1)(x^{a}+1)[/tex]

Finn en rasjonal funksjon h slik at [tex]f(x)=h(x)g(x)[/tex] for alle [tex]x\varepsilon (0,\infty )[/tex] (fant ikke elementtasten, så det skal være x element i)

Jeg ser ikke egentlig hav man spesielt skal gjøre her, men jeg prøvde jo slik:

[tex]f(x)=h(x)g(x)\Rightarrow h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}[/tex]

[tex]h(x)=\frac{sinh(a\ln a)}{(x^{a}-1)(x^{a}+1)})=\frac{sinh(a\ln a)}{x^{2a}-1}[/tex]

Jeg vet ikke helt hva annet man skal gjøre, eller tenke? Skal man bruke evt. at [tex]sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}[/tex]
Takk for svar!

noen?

ThomasSkas wrote:Hei igjen!
Jeg lurer på en oppgave her som jeg har prøvd meg på:

La [tex]a\geq 1[/tex] være et vilkårlig heltall, og la [tex]f(x)=sinh(a\cdot lna)[/tex] og [tex]g(x)=(x^{a}-1)(x^{a}+1)[/tex]

Finn en rasjonal funksjon h slik at [tex]f(x)=h(x)g(x)[/tex] for alle [tex]x\varepsilon (0,\infty )[/tex] (fant ikke elementtasten, så det skal være x element i)

Jeg ser ikke egentlig hav man spesielt skal gjøre her, men jeg prøvde jo slik:

[tex]f(x)=h(x)g(x)\Rightarrow h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}[/tex]

[tex]h(x)=\frac{sinh(a\ln a)}{(x^{a}-1)(x^{a}+1)})=\frac{sinh(a\ln a)}{x^{2a}-1}[/tex]

Jeg vet ikke helt hva annet man skal gjøre, eller tenke? Skal man bruke evt. at [tex]sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}[/tex]
Takk for svar!

$\sinh (a\ln a )=\frac{a^a-a^{-a}}{2}$

Sikker på at du har skrevet av oppgaven riktig? Umiddelbart skulle jeg tro at det burde stått $\sinh (a\ln x )$...

For øvrig er det riktig det du har gjort, da rasjonale funksjoner ikke behøver å ha rasjonale koeffisienter, så lenge du får polynomer i teller og nevner.

plutarco wrote:

ThomasSkas wrote:Hei igjen!
Jeg lurer på en oppgave her som jeg har prøvd meg på:

La [tex]a\geq 1[/tex] være et vilkårlig heltall, og la [tex]f(x)=sinh(a\cdot lna)[/tex] og [tex]g(x)=(x^{a}-1)(x^{a}+1)[/tex]

Finn en rasjonal funksjon h slik at [tex]f(x)=h(x)g(x)[/tex] for alle [tex]x\varepsilon (0,\infty )[/tex] (fant ikke elementtasten, så det skal være x element i)

Jeg ser ikke egentlig hav man spesielt skal gjøre her, men jeg prøvde jo slik:

[tex]f(x)=h(x)g(x)\Rightarrow h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}[/tex]

[tex]h(x)=\frac{sinh(a\ln a)}{(x^{a}-1)(x^{a}+1)})=\frac{sinh(a\ln a)}{x^{2a}-1}[/tex]

Jeg vet ikke helt hva annet man skal gjøre, eller tenke? Skal man bruke evt. at [tex]sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}[/tex]
Takk for svar!

$\sinh (a\ln a )=\frac{a^a-a^{-a}}{2}$

Sikker på at du har skrevet av oppgaven riktig? Umiddelbart skulle jeg tro at det burde stått $\sinh (a\ln x )$...

For øvrig er det riktig det du har gjort, da rasjonale funksjoner ikke behøver å ha rasjonale koeffisienter, så lenge du får polynomer i teller og nevner.

Ja, du har helt rett. For en dum feil. Det du skrev skal stå. Skrev av feil.

Ok, bra det er bekreftet. Jeg fortsatte litt mer med uttrykket slik:

Vet at [tex]sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}[/tex]

sÅ jeg setter inn:

[tex]h(x)=\frac{e^{alnx}-e^{-alnx}}{2(x^a-1)(x^a+1)}=\frac{x^a-1/x^a}{2(x^a-1)(x^a+1)}=\frac{x^{2a}}{2(x^a-1)(x^a+1)}[/tex]

Du mangler en faktor i nevneren (edit: og et ledd i telleren). Ellers er det riktig. Du har nå polynomer i både teller og nevner, så det blir en rasjonal funksjon.

plutarco wrote:Du mangler en faktor i nevneren. Ellers er det riktig. Du har nå polynomer i både teller og nevner, så det blir en rasjonal funksjon.

Hva er det jeg mangler i nevneren?
Jeg prøvde å rydde opp der, men det eneste jeg ser at jeg har glemt, er 1-tallet i telleren??

ThomasSkas wrote:

plutarco wrote:Du mangler en faktor i nevneren. Ellers er det riktig. Du har nå polynomer i både teller og nevner, så det blir en rasjonal funksjon.

Hva er det jeg mangler i nevneren?
Jeg prøvde å rydde opp der, men det eneste jeg ser at jeg har glemt, er 1-tallet i telleren??

[tex]\frac{x^{a} - \frac{1}{x^a}}{2(x^a-1)(x^a+1)} = \frac{\frac{x^{2a}}{x^a} - \frac{1}{x^a}}{2(x^a-1)(x^a+1)} = \frac{\frac{x^{2a}-1}{x^a}}{2(x^a-1)(x^a+1)} = \frac{x^{2a}-1}{2x^a(x^a-1)(x^a+1)}[/tex] Så både - 1 i teller og [tex]x^a[/tex] i nevner så vidt jeg kan se.

Alternativt blir det ikke litt penere om du faktoriserer teller med konjugatsetningen?
[tex]\frac{x^{2a}-1}{2x^a(x^a-1)(x^a+1)} = \dfrac{({x^a})^2-1}{2x^a(x^a-1)(x^a+1)} = \dfrac{(x^a-1)(x^a+1)}{2x^a(x^a-1)(x^a+1)} = \dfrac{1}{2x^a}[/tex]

Gjest wrote:

ThomasSkas wrote:

plutarco wrote:Du mangler en faktor i nevneren. Ellers er det riktig. Du har nå polynomer i både teller og nevner, så det blir en rasjonal funksjon.

Hva er det jeg mangler i nevneren?
Jeg prøvde å rydde opp der, men det eneste jeg ser at jeg har glemt, er 1-tallet i telleren??

[tex]\frac{x^{a} - \frac{1}{x^a}}{2(x^a-1)(x^a+1)} = \frac{\frac{x^{2a}}{x^a} - \frac{1}{x^a}}{2(x^a-1)(x^a+1)} = \frac{\frac{x^{2a}-1}{x^a}}{2(x^a-1)(x^a+1)} = \frac{x^{2a}-1}{2x^a(x^a-1)(x^a+1)}[/tex] Så både - 1 i teller og [tex]x^a[/tex] i nevner så vidt jeg kan se.

Alternativt blir det ikke litt penere om du faktoriserer teller med konjugatsetningen?
[tex]\frac{x^{2a}-1}{2x^a(x^a-1)(x^a+1)} = \dfrac{({x^a})^2-1}{2x^a(x^a-1)(x^a+1)} = \dfrac{(x^a-1)(x^a+1)}{2x^a(x^a-1)(x^a+1)} = \dfrac{1}{2x^a}[/tex]

Jo, det har du helt rett i. Mye bedre ut slik, og takk for at du viste hvor jeg misset på den siste biten. Også takk til Plutarco for god hjelp!