matematikk.net

Hvordan finner man den inverse av en slik funksjon?

f(x)= x^3 +2x^2+ bx + 9

Har prøvd med å sette x=f(y)=y^3 + 2y^2 + by +9, men får det ikke til å gå opp.

Sett [tex]x = \sum_{i = 0}^{3}a_{i}y^{i}[/tex]

substituer [tex]y(x) = ...[/tex] for hver [tex]y[/tex]

gang ut, noe jeg gjerne skulle gjort hadde jeg hatt tid. Anse [tex]x[/tex] på venstre siden i den inverse likningnen som et polynom i [tex]x[/tex]
med koeffisient [tex]1 \cdot x[/tex]. Finn koeffisienter slik at begge sider blir like. Da skal du kunne ha funnet den inverse.

Tror ikke metoden til Norm funker. Generelt er det ikke mulig å finne et uttrykk på lukket form for den inverse siden funksjonen ikke engang er invertibel for alle verdier av b.

Hva er det oppgaven ber om eksakt?

plutarco wrote:Tror ikke metoden til Norm funker. Generelt er det ikke mulig å finne et uttrykk på lukket form for den inverse siden funksjonen ikke engang er invertibel for alle verdier av b.

Hva er det oppgaven ber om eksakt?

Oppgaven ber om å finne en verdi av b slik at funksjonen blir invertibel, men vet egentlig ikke hvordan jeg skal gjør det. Har prøvd med å finne den andre deriverte av funksjonen, slik at jeg finner x (-2/3). Setter så dette inn i den første deriverte å får at b=4/3.
Men vet ikke helt om dette er riktig.
Videre står det i oppgaven "Evaluer (f−1)′(9) for denne verdien av b".

For at en funksjon skal være invertibel må den være bijektiv, altså surjektiv og injektiv. Det er klart at f(x) er surjektiv for alle b, så vi må finne en b slik at den også er injektiv. Da holder det at funksjonen er strengt voksende. Dette er ekvivalent med at $f'(x)\geq 0$. Du må altså finne en verdi av b slik at den deriverte av f er større eller lik 0 for alle x.

Når det gjelder å beregne $(f^{-1})'(9)$ trenger du ikke å kjenne til funksjonsuttrykket til f'(x). Siden $f(f^{-1}(x))=x$, vil $f'(f^{-1}(x))\cdot (f^{-1})'(x)=1$

plutarco wrote:For at en funksjon skal være invertibel må den være bijektiv, altså surjektiv og injektiv. Det er klart at f(x) er surjektiv for alle b, så vi må finne en b slik at den også er injektiv. Da holder det at funksjonen er strengt voksende. Dette er ekvivalent med at $f'(x)\geq 0$. Du må altså finne en verdi av b slik at den deriverte av f er større eller lik 0 for alle x.

Når det gjelder å beregne $(f^{-1})'(9)$ trenger du ikke å kjenne til funksjonsuttrykket til f'(x). Siden $f(f^{-1}(x))=x$, vil $f'(f^{-1}(x))\cdot (f^{-1})'(x)=1$

Jeg skjønner ikke helt hva du mener, var den måten jeg fant b på feil?