matematikk.net

Hei igjen!

Jeg lurer på tankegangen i denne oppgaven:

Bestem konstanten A slik at funksjonen

[tex]f(x)=\begin{cases} A & \text{ if } x=2 \\ (x-2)^2cos(\frac{\pi }{x-2}) & \text{ if } x\not\equiv 2 \end{cases}[/tex]

Jeg tenker det at funksjonen er kontinuerlig dersom [tex]\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)=L[/tex]

Og at [tex]\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)=L[/tex]

Jeg synes også det virker fornuftig å bruke skviseteoremet her. Jeg vil tro at hvis du finner ut hva uttrykket vil gå mot når x -> 2, vil du skjønne hva A er siden A er en konstant!

Jeg brukte skviseteoremet nå, på -(x-2)^2 og (x-2)^2, når x går mot 2 gir det 0. Da må det samme gjelde for [tex]\lim_{x\rightarrow 2}(x-2)^2cos(\frac{\pi }{x-2})=0[/tex]

Betyr det da at A = 0??

Jeg tror det skal stemme, ja!

Hei ThomasSkas,

Først og fremst kan vi bruke et hjelpemiddel til å tegne streken til virkningen f(x). Da vil vi bli ganske sikker på at A = 0.

En forklaring på hvilken mengde A får når x = 2:

((x - 2) / 2) som skal ganges med cosinusuttrykket finner vi blir:

(2 - 2) / 2 = 0 / 2 = 0.

Mer trenger vi egentlig ikke vite for å avgjøre mengden til A når x = 2 da vi får at:

0 · cos(π : (x - 2)) = 0

uavhengig av hvilken mengde x er.

Det vi ellers kan legge til for å bli sikrere på at A = 0, er som du nevner å se på hva f(x) blir for (x - 2) omlag lik 0 enten som medtall eller mottall.
Da vi vet at (cos(π : (x - 2))) alltid er en mengde fra og med -1 til og med 1 vil: ((x - 2) / 2) når (x - 2) er omlag lik 0 også bli omlag lik 0 selv,
og da vil hele virkningen (((x - 2) / 2) · cos(π : (x - 2))) også bli omlag lik 0 da cosinusuttrykket har svært liten innvirkning på den totale mengden
- og dess nærmere x er 2 jo nærmere 0 er ((x - 2) / 2), og da vil (((x - 2) / 2) · cos(π : (x - 2))) gå mot 0 når x går mot 2.

Dette er i det minste en forklaring - interessant å se noen andre kan forklare dette på en annen måte.



Med Vennlig Hilsen
Tom André Tveit
http://www.verda.no/

Fagspørsmål kan sendes til:
http://www.verda.no/bokmal/tjenester/fagsporsmal.php