La $a_1,a_2,...,a_n$ være ikke-negative reelle tall, og $p$ og $r$ naturlige tall slik at $p\geq r$. Vis at da er
$$\sqrt[p]{a_1^p+a_2^p+...+a_n^p}\leq \sqrt[r]{a_1^r+a_2^r+...a_n^r}$$
Ulikhet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Brahmagupta
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
Definer $a_i^r=b_i$ og $q=p/r\geq 1$ slik at $a_i^p=b_i^q$. Da er ulikheten
ekvivalent med
\[(b_1+\cdots+b_n)^q\geq b_1^q+\cdots + b_n^q. \]
Det er rimelig åpenbart at denne ulikheten er sann, men for kompletthet
begrunner jeg dette også. La $S=b_1+\cdots+b_n$ og definer $c_i=b_i/S$.
Deler vi begge sider av ulikheten på $S^q$ ender vi opp med
\[1=(c_1+\cdots+c_n)^q\geq c_1^q+\cdots +c_n^q.\]
Siden $c_i\in[0,1]$ og $q\geq 1$ følger det at $c_i^q\leq c_i$ og dermed
$c_1^q+\cdots+c_n^q\leq c_1+\cdots+c_n=1$, og vi er ferdige.
Vi kan også merke at den siste likheten kun holder hvis for en $j$ er
$c_j=1$ og for $i\neq j$ er $c_i=0$. Fører vi dette tilbake til den
opprinnelige ulikheten ser vi at likhet kun forekommer hvis alle unntatt
en $a_i$ er 0.
ekvivalent med
\[(b_1+\cdots+b_n)^q\geq b_1^q+\cdots + b_n^q. \]
Det er rimelig åpenbart at denne ulikheten er sann, men for kompletthet
begrunner jeg dette også. La $S=b_1+\cdots+b_n$ og definer $c_i=b_i/S$.
Deler vi begge sider av ulikheten på $S^q$ ender vi opp med
\[1=(c_1+\cdots+c_n)^q\geq c_1^q+\cdots +c_n^q.\]
Siden $c_i\in[0,1]$ og $q\geq 1$ følger det at $c_i^q\leq c_i$ og dermed
$c_1^q+\cdots+c_n^q\leq c_1+\cdots+c_n=1$, og vi er ferdige.
Vi kan også merke at den siste likheten kun holder hvis for en $j$ er
$c_j=1$ og for $i\neq j$ er $c_i=0$. Fører vi dette tilbake til den
opprinnelige ulikheten ser vi at likhet kun forekommer hvis alle unntatt
en $a_i$ er 0.
-
Tom André Tveit
- Cayley
- Innlegg: 63
- Registrert: 25/05-2015 20:48
Hei stensrud,
Ser at Brahmagupta har gitt et svar som viser det viktigste ved løsningen på oppgaven.
Velger likevel å gi et svar da jeg har brukt litt tid på oppgaven, og kan vise litt mer om
hvordan vi finner det som er det viktigste ved løsningen.
Det viktigste ved løsningen er å kunne vise til at:
((aᶦ1 / x) + (aᶦ2 / x) + ... + (aᶦn / x)) < (aᶦ1 + aᶦ2 + ... + aᶦn) / x
For å få litt bedre oversikt over oppgaven forenkler vi som følger:
((aᶦ1 / p) + (aᶦ2 / p) + ... + (aᶦn / p)) = b og ((aᶦ1 / r) + (aᶦ2 / r) + ... + (aᶦn / r)) = c får vi at
((aᶦ1 / p) + (aᶦ2 / p) + ... + (aᶦn / p)) \ p ≤ ((aᶦ1 / r) + (aᶦ2 / r) + ... + (aᶦn / r)) \ r gir
(b \ p) ≤ (c \ r), der b ≥ c og p ≥ r.
Vi vet at når p og r øker, øker også b og c. Tilsvarende kan vi si at når x øker i (a \ x)
øker også a. Dersom vi kan vise at økningen til a gir forholdsvis mindre økning enn minkingen x
gir til (a \ x), vil vi kunne finne at (a \ x) minker når x øker - og når dette skjer vil alltid også
tilsvarende
((aᶦ1 / p) + (aᶦ2 / p) + ... + (aᶦn / p)) \ p ≤ ((aᶦ1 / r) + (aᶦ2 / r) + ... + (aᶦn / r)) \ r
Dette kan vi vise fordi at ved ((aᶦ1 + aᶦ2 + ... + aᶦn) / x \ x) utjevner nedhøyingen opphøyingen
slik at følgen verken øker eller minker ved økende og minkende x. Men i motsetning til dette vil
ikke nedhøyingen utjevne opphøyingene i (((aᶦ1 / x) + (aᶦ2 / x) + ... + (aᶦn / x)) \ x), og da
vil det siste tilfellet alltid minke da opphøyingen gir mindre økning enn den minking ned-
høyingen gir.
Da trekker vi inn igjen ulikheten som vist innledningsvis som viser at dette er riktig:
((aᶦ1 / x) + (aᶦ2 / x) + ... + (aᶦn / x)) < (aᶦ1 + aᶦ2 + ... + aᶦn) / x
Et særtilfelle gjelder når n = 1 og aᶦ1, da får diemet likevekt.
Med Vennlig Hilsen
Tom André Tveit
http://www.verda.no/
Fagspørsmål kan sendes til:
http://www.verda.no/bokmal/tjenester/fagsporsmal.php
Ser at Brahmagupta har gitt et svar som viser det viktigste ved løsningen på oppgaven.
Velger likevel å gi et svar da jeg har brukt litt tid på oppgaven, og kan vise litt mer om
hvordan vi finner det som er det viktigste ved løsningen.
Det viktigste ved løsningen er å kunne vise til at:
((aᶦ1 / x) + (aᶦ2 / x) + ... + (aᶦn / x)) < (aᶦ1 + aᶦ2 + ... + aᶦn) / x
For å få litt bedre oversikt over oppgaven forenkler vi som følger:
((aᶦ1 / p) + (aᶦ2 / p) + ... + (aᶦn / p)) = b og ((aᶦ1 / r) + (aᶦ2 / r) + ... + (aᶦn / r)) = c får vi at
((aᶦ1 / p) + (aᶦ2 / p) + ... + (aᶦn / p)) \ p ≤ ((aᶦ1 / r) + (aᶦ2 / r) + ... + (aᶦn / r)) \ r gir
(b \ p) ≤ (c \ r), der b ≥ c og p ≥ r.
Vi vet at når p og r øker, øker også b og c. Tilsvarende kan vi si at når x øker i (a \ x)
øker også a. Dersom vi kan vise at økningen til a gir forholdsvis mindre økning enn minkingen x
gir til (a \ x), vil vi kunne finne at (a \ x) minker når x øker - og når dette skjer vil alltid også
tilsvarende
((aᶦ1 / p) + (aᶦ2 / p) + ... + (aᶦn / p)) \ p ≤ ((aᶦ1 / r) + (aᶦ2 / r) + ... + (aᶦn / r)) \ r
Dette kan vi vise fordi at ved ((aᶦ1 + aᶦ2 + ... + aᶦn) / x \ x) utjevner nedhøyingen opphøyingen
slik at følgen verken øker eller minker ved økende og minkende x. Men i motsetning til dette vil
ikke nedhøyingen utjevne opphøyingene i (((aᶦ1 / x) + (aᶦ2 / x) + ... + (aᶦn / x)) \ x), og da
vil det siste tilfellet alltid minke da opphøyingen gir mindre økning enn den minking ned-
høyingen gir.
Da trekker vi inn igjen ulikheten som vist innledningsvis som viser at dette er riktig:
((aᶦ1 / x) + (aᶦ2 / x) + ... + (aᶦn / x)) < (aᶦ1 + aᶦ2 + ... + aᶦn) / x
Et særtilfelle gjelder når n = 1 og aᶦ1, da får diemet likevekt.
Med Vennlig Hilsen
Tom André Tveit
http://www.verda.no/
Fagspørsmål kan sendes til:
http://www.verda.no/bokmal/tjenester/fagsporsmal.php