Page 1 of 1
Taylorpolynom
Posted: 29/09-2015 18:26
by madshansen
La f(x) = ln(1+x). Vi vil bruke et 7. grads Taylorpolynom om x = 0, [tex]P_{7}(x)[/tex], til å tilnærme funksjonen f(x) på intervallet I = [−0.9,0.9].
Bruk Taylors formel til å finne den minste konstanten C slik at
f(x)−[tex]P_{7}(x)\leq[/tex] C
for alle x [tex]\in[/tex] I.
Svaret skal være et eksakt rasjonalt tall.
Har klart å finne at
[tex]P_{7}(x)[/tex] = [tex]\frac{1}{7}x^7-\frac{1}{6}x^6+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+x[/tex]
Videre skjønner jeg ikke hvordan jeg skal gå fram... Noen som kan hjelpe meg? På forhånd, takk!
Re: Taylorpolynom
Posted: 30/09-2015 17:49
by Norm
Generelt har man et restledd når man ekspanderer taylorpolynomet. Har man ekspandert til 7. potens, har man flere restledd etter det.
Typisk har man
[tex]f^{[8]}(c) = \frac{f^{[7]}(b) - f^{[7]}(a)}{b - a}[/tex],
for en c i intervallet [tex][a,b][/tex] ved Mean Value Theorem.
Hvis du finner denne verdien nøyaktig, kall den [tex]\theta[/tex], kan du trunkere polynomet der, og ha en nøyaktig tilnærmelse,
alt annet sett bort ifra. Du må selvsagt ta med konstantene som dukker opp i forbindelse med taylorutviklingen, men ideen er å bruke
Mean Value teoremet på restleddet. Hvis du klarer å finne en øvre grense, [tex]M[/tex] analytisk eller numerisk for restleddet så er jo det kanskje enklere.
Re: Taylorpolynom
Posted: 30/09-2015 23:13
by MatIsa
madshansen wrote:La f(x) = ln(1+x). Vi vil bruke et 7. grads Taylorpolynom om x = 0, [tex]P_{7}(x)[/tex], til å tilnærme funksjonen f(x) på intervallet I = [−0.9,0.9].
Bruk Taylors formel til å finne den minste konstanten C slik at
f(x)−[tex]P_{7}(x)\leq[/tex] C
for alle x [tex]\in[/tex] I.
Svaret skal være et eksakt rasjonalt tall.
Har klart å finne at
[tex]P_{7}(x)[/tex] = [tex]\frac{1}{7}x^7-\frac{1}{6}x^6+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+x[/tex]
Videre skjønner jeg ikke hvordan jeg skal gå fram... Noen som kan hjelpe meg? På forhånd, takk!
Det er lettere å bruke Taylors formel direkte. Den sier at $f(x) = P_m(x) + \frac{f^{(m+1)}(s)}{(m+1)!}(x-a)^{m+1}$ for en $s$ mellom $a$ og $x$. I dette tilfellet er $a = 0$ og $m = 7$. Vet du hvordan du kan fortsette?
Re: Taylorpolynom
Posted: 30/09-2015 23:35
by madshansen
[/quote]
Det er lettere å bruke Taylors formel direkte. Den sier at $f(x) = P_m(x) + \frac{f^{(m+1)}(s)}{(m+1)!}(x-a)^{m+1}$ for en $s$ mellom $a$ og $x$. I dette tilfellet er $a = 0$ og $m = 7$. Vet du hvordan du kan fortsette?[/quote]
Har som du foreslo prøvd å bruke Taylors formel direkte, men jeg skjønner egentlig ikke hvordan jeg skal gå fram. Det er [tex]f^{m+1}(s)[/tex] som jeg ikke forstår, er det meningen at jeg skal finne denne s-en? For å være helt ærlig skjønner jeg ikke hva oppgaven spør etter.

Re: Taylorpolynom
Posted: 01/10-2015 13:19
by MatIsa
Du trenger ikke finne $s$-en direkte, men hvis du kan finne ut hvor stor $|f^{(8)}(s)|$ er på sitt største så kan du bruke dette til å beregne en verdi for $C$.
Ettersom $f(x) = P_7(x) + \frac{f^{(8)}(s)}{8!}x^8$, er $|f(x) - P_7(x)| = \left|\frac{f^{(8)}(s)}{8!}x^8\right| \leq C$. Den $C$-en du vil finne må altså minst være så stor som $ \left|\frac{f^{(8)}(s)}{8!}x^8\right|$ er på intervallet $I = [-0.4, 0.4]$. For å finne $C$ det kan du først finne maksverdien til $|f^{(8)}(s)|$ på $I$, og deretter maksverdien til $x^8$ på intervallet $I$. Bruk deretter disse verdiene til å regne ut $C$.
Re: Taylorpolynom
Posted: 09/10-2015 18:50
by Løken
Men hva er s her?
Re: Taylorpolynom
Posted: 11/10-2015 13:06
by Skjønner ikke
Fikk du den til Mads Hansen?
Jeg har samme oppgave, og skal levere den ikveld, men skjønner ikke helt hvordan jeg skal tenke her.
Re: Taylorpolynom
Posted: 12/10-2015 00:08
by Andreas345