matematikk.net

La f(x) = ln(1+x). Vi vil bruke et 7. grads Taylorpolynom om x = 0, [tex]P_{7}(x)[/tex], til å tilnærme funksjonen f(x) på intervallet I = [−0.9,0.9].
Bruk Taylors formel til å finne den minste konstanten C slik at
f(x)−[tex]P_{7}(x)\leq[/tex] C
for alle x [tex]\in[/tex] I.

Svaret skal være et eksakt rasjonalt tall.

Har klart å finne at
[tex]P_{7}(x)[/tex] = [tex]\frac{1}{7}x^7-\frac{1}{6}x^6+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+x[/tex]

Videre skjønner jeg ikke hvordan jeg skal gå fram... Noen som kan hjelpe meg? På forhånd, takk!

Generelt har man et restledd når man ekspanderer taylorpolynomet. Har man ekspandert til 7. potens, har man flere restledd etter det.
Typisk har man
[tex]f^{[8]}(c) = \frac{f^{[7]}(b) - f^{[7]}(a)}{b - a}[/tex],
for en c i intervallet [tex][a,b][/tex] ved Mean Value Theorem.
Hvis du finner denne verdien nøyaktig, kall den [tex]\theta[/tex], kan du trunkere polynomet der, og ha en nøyaktig tilnærmelse,
alt annet sett bort ifra. Du må selvsagt ta med konstantene som dukker opp i forbindelse med taylorutviklingen, men ideen er å bruke
Mean Value teoremet på restleddet. Hvis du klarer å finne en øvre grense, [tex]M[/tex] analytisk eller numerisk for restleddet så er jo det kanskje enklere.

madshansen wrote:La f(x) = ln(1+x). Vi vil bruke et 7. grads Taylorpolynom om x = 0, [tex]P_{7}(x)[/tex], til å tilnærme funksjonen f(x) på intervallet I = [−0.9,0.9].
Bruk Taylors formel til å finne den minste konstanten C slik at
f(x)−[tex]P_{7}(x)\leq[/tex] C
for alle x [tex]\in[/tex] I.

Svaret skal være et eksakt rasjonalt tall.

Har klart å finne at
[tex]P_{7}(x)[/tex] = [tex]\frac{1}{7}x^7-\frac{1}{6}x^6+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+x[/tex]

Videre skjønner jeg ikke hvordan jeg skal gå fram... Noen som kan hjelpe meg? På forhånd, takk!

Det er lettere å bruke Taylors formel direkte. Den sier at $f(x) = P_m(x) + \frac{f^{(m+1)}(s)}{(m+1)!}(x-a)^{m+1}$ for en $s$ mellom $a$ og $x$. I dette tilfellet er $a = 0$ og $m = 7$. Vet du hvordan du kan fortsette?

[/quote]
Det er lettere å bruke Taylors formel direkte. Den sier at $f(x) = P_m(x) + \frac{f^{(m+1)}(s)}{(m+1)!}(x-a)^{m+1}$ for en $s$ mellom $a$ og $x$. I dette tilfellet er $a = 0$ og $m = 7$. Vet du hvordan du kan fortsette?[/quote]

Har som du foreslo prøvd å bruke Taylors formel direkte, men jeg skjønner egentlig ikke hvordan jeg skal gå fram. Det er [tex]f^{m+1}(s)[/tex] som jeg ikke forstår, er det meningen at jeg skal finne denne s-en? For å være helt ærlig skjønner jeg ikke hva oppgaven spør etter.

Du trenger ikke finne $s$-en direkte, men hvis du kan finne ut hvor stor $|f^{(8)}(s)|$ er på sitt største så kan du bruke dette til å beregne en verdi for $C$.
Ettersom $f(x) = P_7(x) + \frac{f^{(8)}(s)}{8!}x^8$, er $|f(x) - P_7(x)| = \left|\frac{f^{(8)}(s)}{8!}x^8\right| \leq C$. Den $C$-en du vil finne må altså minst være så stor som $ \left|\frac{f^{(8)}(s)}{8!}x^8\right|$ er på intervallet $I = [-0.4, 0.4]$. For å finne $C$ det kan du først finne maksverdien til $|f^{(8)}(s)|$ på $I$, og deretter maksverdien til $x^8$ på intervallet $I$. Bruk deretter disse verdiene til å regne ut $C$.

Men hva er s her?

Fikk du den til Mads Hansen?

Jeg har samme oppgave, og skal levere den ikveld, men skjønner ikke helt hvordan jeg skal tenke her.

Ta en kikk på denne oppgaven: http://matematikk.net/matteprat/viewtop ... 14&t=40733