matematikk.net

Hei

Jeg er virkelig forferdelig på induksjonsbevis og har gjort et forsøk på (6^n)-1 er delelig med 5 for alle naturlige tall

Har gjort som følger:

1. Vi viser først at påstanden er riktig for n = 1
(6^1) - 1 = 5

2. Vi antar at påstanden er riktig for n = k, da må det finnes et helt tall p slik at
(6^k) - 1 = 5 p

3. Vi viser at påstanden er riktig for n = k + 1
(6^(k+1)) - 1 = 6 * (6^k) - 6 + 5 = 6 * ((6^k) - 1) + 5 = 6 * 5p + 5 = 5(6p + 1) = 5 q, der q er et naturlig tall

Er dette riktig, eventuelt hva har jeg gjort feil?

induksjonsstuff wrote:Hei

Jeg er virkelig forferdelig på induksjonsbevis og har gjort et forsøk på (6^n)-1 er delelig med 5 for alle naturlige tall

Har gjort som følger:

1. Vi viser først at påstanden er riktig for n = 1
(6^1) - 1 = 5

2. Vi antar at påstanden er riktig for n = k, da må det finnes et helt tall p slik at
(6^k) - 1 = 5 p

3. Vi viser at påstanden er riktig for n = k + 1
(6^(k+1)) - 1 = 6 * (6^k) - 6 + 5 = 6 * ((6^k) - 1) + 5 = 6 * 5p + 5 = 5(6p + 1) = 5 q, der q er et naturlig tall

Er dette riktig, eventuelt hva har jeg gjort feil?

Helt riktig tenkt og et gyldig bevis. Du kan muligens være enda tydeligere i induksjonsbiten.

Forslag:
Anta at det finnes $k \in \mathbb{N}$ slik at $6^k - 1$ er delelig på $5$,
altså at det finnes $p \in \mathbb{N}$ slik at $6^k - 1 = 5p$.

Da får vi at

$\begin{align*} 6^{k+1} - 1 & = 6\cdot 6^k - 6 + 5 \\
& = 6(6^k - 1) + 5 \\
& = 6(5p) + 5 \text{ fra induksjonshypotesen} \\
& = 5(6p + 1), \end{align*}$

så $6^{k+1} - 1$ er delelig på $5$ ettersom $6p + 1 \in \mathbb{N}$.