matematikk.net

Jeg sitter med en oppgave her som er knyttet til å finne lokale- og globale maks/min-punkter til funksjoner.
Dette gjelder matematikk 1. På flere måter føler jeg at jeg har forstått en del av konseptet, men så føler jeg også at jeg ikke forstår så mye allikevel, og jeg ønsker å forstå det 100 %, og kunne anvende det.

Jeg legger ved en skjermdump av oppgave; den har alternativer som skal velges, hvor 7 av alternativene skal krysses av.

https://gyazo.com/22a747c1200ef70130e5b0b35a960b43

Ok, jeg deriverte funksjonen:

[tex]f'(x)=3x^2-48x+189[/tex]

[tex]f'(x)=0[/tex]

[tex]x_{1}=9[/tex] og [tex]x_{2}=7[/tex]

[tex]f(7)=20[/tex]

[tex]f(9)=16[/tex]

Her sliter jeg. Dette er ekstremalpunkter, men hvordan vite om de er lokale eller globale?
Jeg har sett på definisjonen i boka, og jeg skriver dem opp, for å repetere for meg selv:

Absolutt/global maksimumsverdi:

En funksjon f har en absolutt maksimumsverdi [tex]f(x_{0})[/tex] i punktet [tex]x_{0}[/tex] dersom
[tex]x_{0}[/tex] er i domenet til f, og [tex]f(x)\leq f(x_{0})[/tex] for alle x.

Absolutt/global minimumsverdi:

En funksjon f har en absolutt minimumsverdi [tex]f(x_{1})[/tex] i punktet [tex]x_{1}[/tex] dersom
[tex]x_{1}[/tex] er i domenet til f, og [tex]f(x)\geq f(x_{1})[/tex]
for alle x.

Lokal maksimumsverdi:

En funksjon f har en absolutt maksimumsverdi [tex]f(x_{0})[/tex] i punktet [tex]x_{0}[/tex] dersom det eksisterer et tall [tex]h>0[/tex] slik at [tex]f(x)\leq f(x_{0})[/tex] for alle x i domenet til f som oppfyller [tex]|x-x_{0}|<h[/tex]

Lokal minimumsverdi:

En funksjon f har en absolutt minimumsverdi [tex]f(x_{1})[/tex] i punktet [tex]x_{1}[/tex] dersom det eksisterer et tall [tex]h>0[/tex] slik at [tex]f(x)\geq f(x_{1})[/tex] for alle x i domenet til f som oppfyller [tex]|x-x_{1}|<h[/tex]

Videre har jeg også fått med meg at lokale ekstremalverdier finnes i følgende tre punkter:

Kritiske punkter; der f'(x) = 0, noe jeg utførte ovenfor??

Singulære punkter; der f'(x) ikke eksisterer. Da er mitt spørsmål: Er det et slikt punkt for polynomfunksjonen f her?
Jeg ser at intervallet er åpent og lukket, dvs. at f(5) ikke gjelder, mens f(10) gjelder. Betyr det da at x = 5 er det singulære punktet til f?

Endepunkter; Det er punkter i D(f) som ikke tilhører noe åpent intervall i D(f).

Som dere kan se, så regnet jeg ut f(5) og f(10) ovenfor. Jeg tenker jo at x = 10 er det eneste endepunktet ettersom intervallet er lukket ved x = 10 ? , og x = 5 er åpent?
Ufff, nei her blir jeg veldig forrvirret.

Jeg håper dere vil hjelpe meg her.
Takk!

-Globale maks/min er de absolutte maks og min punktene til funksjon. Punktene som er høyere/lavere enn alle andre punkt.
-Lokale maks/min er typisk(men ikke alltid) punkter der f'(x)=0, altså et sted grafen "snur". I forhold til punktene i nærheten av disse punktene er de maks/min og derfor kalles de for "lokale maks/min".
-Kritiske punkt er rett og slett punkter med maks/min verdier (men her trenger ikke f'(x)=0 ettersom funksjonen kan ha en knekk, singulært punkt ol.)
-Singulære punkter er punkter som er atskilt fra resten av punktene. Disse punktene "følger ikke reglene" og kan hoppe opp fra grafen for å danne avsidesliggende punkt.
-Maks/min kan også befinne seg i endepunkter, men kun om de inngår i definisjonmengden (som du riktig påpeker selv).

Et polynom er kontinuerlig og skal ikke ha noen form for knekk eller singulære punkt. Polynomer pleier som regel å oppføre seg pent så du har ingen andre kritiske punkt å vurdere enn endepunkter og der f'(x)=0.

En annen måte å definere lokal/global maks/min på er:

global - funksjonens største/minste verdi korresponderende til et argument i definisjonsmengden
lokal - en funksjonsverdi f(a) som er mindre/større eller lik alle andre funksjonsverdier i en omegn om a.

Ettersom funksjonen ikke er definert for verdier "i en omegn om a" i endepunktene skulle man jo tro at endepunkter ikke kan være lokale maks/min (noe som jeg mener å ha lært), men jeg ser at diverse nettsider ikke er enig med meg og også inkluderer endepunktene som lokale maks/min.

Hei, takk for responsen. Men jeg forstår helt ærlig ikke hvordan jeg skal bruke disse opplysningene til å finne de 7 alternativene.
Jeg har, som skrevet ovenfor, sammenliknet de punktene som gjør f'(x) = 0, altså de kritiske punktene, med endepunktene. Men ikke blitt noe klokere her.

Videre, har jeg utført andrederiverttesten, og da har jeg jo kommet fram til at x = 7 er lokalt maksimum fordi f''(7) < 0 , mens x = 9 er lokalt minimum fordi f''(9) > 0.

Da tenker jeg at følgende alternativer skal være korrekte:

- Lokalt maksimum i x = 7

- Ingen singulære punkter

- Lokalt minimum i x = 9

Videre er det stopp for meg.

Gjest wrote:Hei, takk for responsen. Men jeg forstår helt ærlig ikke hvordan jeg skal bruke disse opplysningene til å finne de 7 alternativene.
Jeg har, som skrevet ovenfor, sammenliknet de punktene som gjør f'(x) = 0, altså de kritiske punktene, med endepunktene. Men ikke blitt noe klokere her.

Videre, har jeg utført andrederiverttesten, og da har jeg jo kommet fram til at x = 7 er lokalt maksimum fordi f''(7) < 0 , mens x = 9 er lokalt minimum fordi f''(9) > 0.

Da tenker jeg at følgende alternativer skal være korrekte:

- Lokalt maksimum i x = 7

- Ingen singulære punkter

- Lokalt minimum i x = 9

Videre er det stopp for meg.

Jeg må si jeg ikke helt skjønner hva du ikke skjønner med de opplysningene jeg ga deg . Mitt tips til deg blir å drite i andrederivert og derivert og heller bare løse oppgaven ved å se på grafen.

La oss gå igjennom alle alternativene dine en for en.
Tegn grafen også bruker vi øynene våre og gjør noen observasjoner. (Du kan regne hvis du ikke helt klarer å lese av)

-Høyeste verdi finner vi i x=7 og x=10. Denne verdien er lik for begge x'er altså har vi ikke [tex]ett[/tex] globalt maksimum (et punkt med høyere verdi enn noen andre punkt). Dette utelukker de to neste alternativene.

-Som jeg forklarte deg i stad har ikke polynomfunksjoner singulære punkter.

-Globalt minimum har vi i x=9 ettersom x=5 ikke er med i definisjonsmengden. Om dette utelukker at x=9 [tex]også[/tex] er et lokalt minimum tror jeg ikke, men du får bare prøve og se hva han som har laget oppgaven synes.
Ut fra hva vi har funnet så langt utelukkes de neste 3 alternativene.

-Globalt minimum i x=9 er det ja.
De to neste alternativene utelukkes basert på tidligere observasjoner.

Ble det litt greiere nå?