Lokale- og globale ekstremalpunkter
Posted: 04/10-2015 13:33
Jeg sitter med en oppgave her som er knyttet til å finne lokale- og globale maks/min-punkter til funksjoner.
Dette gjelder matematikk 1. På flere måter føler jeg at jeg har forstått en del av konseptet, men så føler jeg også at jeg ikke forstår så mye allikevel, og jeg ønsker å forstå det 100 %, og kunne anvende det.
Jeg legger ved en skjermdump av oppgave; den har alternativer som skal velges, hvor 7 av alternativene skal krysses av.
https://gyazo.com/22a747c1200ef70130e5b0b35a960b43
Ok, jeg deriverte funksjonen:
[tex]f'(x)=3x^2-48x+189[/tex]
[tex]f'(x)=0[/tex]
[tex]x_{1}=9[/tex] og [tex]x_{2}=7[/tex]
[tex]f(7)=20[/tex]
[tex]f(9)=16[/tex]
Her sliter jeg. Dette er ekstremalpunkter, men hvordan vite om de er lokale eller globale?
Jeg har sett på definisjonen i boka, og jeg skriver dem opp, for å repetere for meg selv:
Absolutt/global maksimumsverdi:
En funksjon f har en absolutt maksimumsverdi [tex]f(x_{0})[/tex] i punktet [tex]x_{0}[/tex] dersom
[tex]x_{0}[/tex] er i domenet til f, og [tex]f(x)\leq f(x_{0})[/tex] for alle x.
Absolutt/global minimumsverdi:
En funksjon f har en absolutt minimumsverdi [tex]f(x_{1})[/tex] i punktet [tex]x_{1}[/tex] dersom
[tex]x_{1}[/tex] er i domenet til f, og [tex]f(x)\geq f(x_{1})[/tex]
for alle x.
Lokal maksimumsverdi:
En funksjon f har en absolutt maksimumsverdi [tex]f(x_{0})[/tex] i punktet [tex]x_{0}[/tex] dersom det eksisterer et tall [tex]h>0[/tex] slik at [tex]f(x)\leq f(x_{0})[/tex] for alle x i domenet til f som oppfyller [tex]|x-x_{0}|<h[/tex]
Lokal minimumsverdi:
En funksjon f har en absolutt minimumsverdi [tex]f(x_{1})[/tex] i punktet [tex]x_{1}[/tex] dersom det eksisterer et tall [tex]h>0[/tex] slik at [tex]f(x)\geq f(x_{1})[/tex] for alle x i domenet til f som oppfyller [tex]|x-x_{1}|<h[/tex]
Videre har jeg også fått med meg at lokale ekstremalverdier finnes i følgende tre punkter:
Kritiske punkter; der f'(x) = 0, noe jeg utførte ovenfor??
Singulære punkter; der f'(x) ikke eksisterer. Da er mitt spørsmål: Er det et slikt punkt for polynomfunksjonen f her?
Jeg ser at intervallet er åpent og lukket, dvs. at f(5) ikke gjelder, mens f(10) gjelder. Betyr det da at x = 5 er det singulære punktet til f?
Endepunkter; Det er punkter i D(f) som ikke tilhører noe åpent intervall i D(f).
Som dere kan se, så regnet jeg ut f(5) og f(10) ovenfor. Jeg tenker jo at x = 10 er det eneste endepunktet ettersom intervallet er lukket ved x = 10 ? , og x = 5 er åpent?
Ufff, nei her blir jeg veldig forrvirret.
Jeg håper dere vil hjelpe meg her.
Takk!
Dette gjelder matematikk 1. På flere måter føler jeg at jeg har forstått en del av konseptet, men så føler jeg også at jeg ikke forstår så mye allikevel, og jeg ønsker å forstå det 100 %, og kunne anvende det.
Jeg legger ved en skjermdump av oppgave; den har alternativer som skal velges, hvor 7 av alternativene skal krysses av.
https://gyazo.com/22a747c1200ef70130e5b0b35a960b43
Ok, jeg deriverte funksjonen:
[tex]f'(x)=3x^2-48x+189[/tex]
[tex]f'(x)=0[/tex]
[tex]x_{1}=9[/tex] og [tex]x_{2}=7[/tex]
[tex]f(7)=20[/tex]
[tex]f(9)=16[/tex]
Her sliter jeg. Dette er ekstremalpunkter, men hvordan vite om de er lokale eller globale?
Jeg har sett på definisjonen i boka, og jeg skriver dem opp, for å repetere for meg selv:
Absolutt/global maksimumsverdi:
En funksjon f har en absolutt maksimumsverdi [tex]f(x_{0})[/tex] i punktet [tex]x_{0}[/tex] dersom
[tex]x_{0}[/tex] er i domenet til f, og [tex]f(x)\leq f(x_{0})[/tex] for alle x.
Absolutt/global minimumsverdi:
En funksjon f har en absolutt minimumsverdi [tex]f(x_{1})[/tex] i punktet [tex]x_{1}[/tex] dersom
[tex]x_{1}[/tex] er i domenet til f, og [tex]f(x)\geq f(x_{1})[/tex]
for alle x.
Lokal maksimumsverdi:
En funksjon f har en absolutt maksimumsverdi [tex]f(x_{0})[/tex] i punktet [tex]x_{0}[/tex] dersom det eksisterer et tall [tex]h>0[/tex] slik at [tex]f(x)\leq f(x_{0})[/tex] for alle x i domenet til f som oppfyller [tex]|x-x_{0}|<h[/tex]
Lokal minimumsverdi:
En funksjon f har en absolutt minimumsverdi [tex]f(x_{1})[/tex] i punktet [tex]x_{1}[/tex] dersom det eksisterer et tall [tex]h>0[/tex] slik at [tex]f(x)\geq f(x_{1})[/tex] for alle x i domenet til f som oppfyller [tex]|x-x_{1}|<h[/tex]
Videre har jeg også fått med meg at lokale ekstremalverdier finnes i følgende tre punkter:
Kritiske punkter; der f'(x) = 0, noe jeg utførte ovenfor??
Singulære punkter; der f'(x) ikke eksisterer. Da er mitt spørsmål: Er det et slikt punkt for polynomfunksjonen f her?
Jeg ser at intervallet er åpent og lukket, dvs. at f(5) ikke gjelder, mens f(10) gjelder. Betyr det da at x = 5 er det singulære punktet til f?
Endepunkter; Det er punkter i D(f) som ikke tilhører noe åpent intervall i D(f).
Som dere kan se, så regnet jeg ut f(5) og f(10) ovenfor. Jeg tenker jo at x = 10 er det eneste endepunktet ettersom intervallet er lukket ved x = 10 ? , og x = 5 er åpent?
Ufff, nei her blir jeg veldig forrvirret.
Jeg håper dere vil hjelpe meg her.
Takk!