matematikk.net

Hei,

jeg trenger litt(veldig) hjelp med en oppgave. Den lyder som følger:

Bevis med matematisk induksjon at 6[tex]^{n}[/tex]-1 er delelig med 5 for alle naturlige tall n.

Kunne noen vært supersnille og gitt meg svaret og en forklaring på denne? På forhånd tusen takk!

Base case - $n=1$:

$6^1 - 1 = 6 - 1 = 5$, så $6^1 - 1$ er delelig på $5$.

Induksjon:
Anta at det finnes $k \in \mathbb{N}$ slik at $6^k - 1$ er delelig på $5$, altså at $6^k - 1 = 5p$ for $p \in \mathbb{N}$.

Da har vi at

$\begin{align*} 6^{k+1} - 1 & = 6 \cdot 6^k - 1 \\
& = 6(5p + 1) - 1 \text{ fra induksjonshypotesen} \\
& = 6 \cdot 5p + 5 \\
& = 5(6p + 1),\end{align*}$

så $6^{k+1} -1$ er delelig på $5$ siden $6p + 1 \in \mathbb{N}$, og påstanden er derfor bevist med induksjon for alle $n \in \mathbb{N}$.