Likning - med Taylor (liten detalj)
Posted: 06/10-2015 19:47
Hei, oppgaven er som følger:
La [tex]f(x)=ln(1+x)[/tex]
Vi vil bruke et 6. grads Taylorpolynom om x= 0, [tex]P_{6}(x)[/tex], til å tilnærme funksjonen f(x) på
intervallet [tex]I=[-0.2,0.2][/tex]. Bruk Taylor's formel til å finneden minste konstanten C slik at
[tex]|f(x)-P_{6}(x)|\leq C[/tex] for alle [tex]x\epsilon I[/tex]
Dette har jeg gjort:
For å slippe å kjede dere og meg selv med å skrive opp alle de deriverte til og med 6. deriverte + f(0), f'(0) osv. så skriver jeg Taylor polynomet jeg fikk:
[tex]P_{6}(x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{6}x^6[/tex]
Feilen i Taylor polynomet er generelt gitt ved:
[tex]E_{n}(x)=f(x)-P_{_{6}}(x)[/tex]
Fra Taylor's formel følger det at:
[tex]E_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}[/tex]
[tex]E_{6}(x)=\frac{f^{(7)}(s)}{7!}x^7[/tex]
Det oppgis i oppgaven at det skal være slik at C:
[tex]|f(x)-P_{6}(x)|\leq C[/tex]
Så det må jo bety at:
[tex]|E_{n}(x)|=|f(x)-P_{6}(x)|\leq C[/tex]
Altså at:
[tex]|\frac{f^{(7)}(s)}{7!}x^7+P_{6}(x)|\leq C[/tex]
Jeg fant videre ut at:
[tex]f^{(7)}(x)=720(x+1)^{-7}[/tex]
Jeg tenkte kanskje å sette inn x = -0.2 eller x = 0.2 for å finne en største verdi, men nei, jeg vet ikke helt. Her er det stopp for meg. Kanskje jeg har gjort alt feil helt til nå.
Takk for oppmerksomheten, og hjelpen!
La [tex]f(x)=ln(1+x)[/tex]
Vi vil bruke et 6. grads Taylorpolynom om x= 0, [tex]P_{6}(x)[/tex], til å tilnærme funksjonen f(x) på
intervallet [tex]I=[-0.2,0.2][/tex]. Bruk Taylor's formel til å finneden minste konstanten C slik at
[tex]|f(x)-P_{6}(x)|\leq C[/tex] for alle [tex]x\epsilon I[/tex]
Dette har jeg gjort:
For å slippe å kjede dere og meg selv med å skrive opp alle de deriverte til og med 6. deriverte + f(0), f'(0) osv. så skriver jeg Taylor polynomet jeg fikk:
[tex]P_{6}(x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{6}x^6[/tex]
Feilen i Taylor polynomet er generelt gitt ved:
[tex]E_{n}(x)=f(x)-P_{_{6}}(x)[/tex]
Fra Taylor's formel følger det at:
[tex]E_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}[/tex]
[tex]E_{6}(x)=\frac{f^{(7)}(s)}{7!}x^7[/tex]
Det oppgis i oppgaven at det skal være slik at C:
[tex]|f(x)-P_{6}(x)|\leq C[/tex]
Så det må jo bety at:
[tex]|E_{n}(x)|=|f(x)-P_{6}(x)|\leq C[/tex]
Altså at:
[tex]|\frac{f^{(7)}(s)}{7!}x^7+P_{6}(x)|\leq C[/tex]
Jeg fant videre ut at:
[tex]f^{(7)}(x)=720(x+1)^{-7}[/tex]
Jeg tenkte kanskje å sette inn x = -0.2 eller x = 0.2 for å finne en største verdi, men nei, jeg vet ikke helt. Her er det stopp for meg. Kanskje jeg har gjort alt feil helt til nå.
Takk for oppmerksomheten, og hjelpen!