matematikk.net

Hei, oppgaven er som følger:

La [tex]f(x)=ln(1+x)[/tex]
Vi vil bruke et 6. grads Taylorpolynom om x= 0, [tex]P_{6}(x)[/tex], til å tilnærme funksjonen f(x) på
intervallet [tex]I=[-0.2,0.2][/tex]. Bruk Taylor's formel til å finneden minste konstanten C slik at

[tex]|f(x)-P_{6}(x)|\leq C[/tex] for alle [tex]x\epsilon I[/tex]

Dette har jeg gjort:

For å slippe å kjede dere og meg selv med å skrive opp alle de deriverte til og med 6. deriverte + f(0), f'(0) osv. så skriver jeg Taylor polynomet jeg fikk:

[tex]P_{6}(x)=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{6}x^6[/tex]

Feilen i Taylor polynomet er generelt gitt ved:

[tex]E_{n}(x)=f(x)-P_{_{6}}(x)[/tex]

Fra Taylor's formel følger det at:

[tex]E_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}[/tex]

[tex]E_{6}(x)=\frac{f^{(7)}(s)}{7!}x^7[/tex]

Det oppgis i oppgaven at det skal være slik at C:

[tex]|f(x)-P_{6}(x)|\leq C[/tex]

Så det må jo bety at:

[tex]|E_{n}(x)|=|f(x)-P_{6}(x)|\leq C[/tex]

Altså at:

[tex]|\frac{f^{(7)}(s)}{7!}x^7+P_{6}(x)|\leq C[/tex]

Jeg fant videre ut at:

[tex]f^{(7)}(x)=720(x+1)^{-7}[/tex]

Jeg tenkte kanskje å sette inn x = -0.2 eller x = 0.2 for å finne en største verdi, men nei, jeg vet ikke helt. Her er det stopp for meg. Kanskje jeg har gjort alt feil helt til nå.
Takk for oppmerksomheten, og hjelpen!

Anyone?

Se ut som du roter litt her? Men du er på veldig god vei!

Feilen i en taylorutvikling er gitt som

$ \hspace{1cm}
E_n = \frac{ f^{n+1}(s) }{ (n+1)! } (x-a)^{n+1}
$
Men som du så er det vanskelig å bruke denne formelen med en gang siden vi ikke vet hva $s$ er bare at den ligger mellom $x$ og $0$. Derimot kan vi bruke tilnærminger for å finne svaret
Fra det jeg skrev ovenfor blir det derfor ikke riktig å si at $f(x) = E_n$. Feilen er jo ikke lik funksjonen, men differansen som du skrev.

Det vi ønsker nå er å finne ut hvor stor $|E_n|$ kan bli for $x \in [-\varepsilon, \varepsilon]$. Siden vi rekkeutvikler omkring origo er $a=0$, og en kan sette inn verdiene våre

$ \hspace{1cm}
|E_n| \leq \left| \frac{ f^{n+1}(s) }{ (n+1)! } (x-a)^{n+1} \right| \leq \left| \frac{ M }{ (n+1)! } (x-0)^{n+1} \right|
$

Det eneste jeg har antatt her er at $\left| f^{(n+1)}(s) \right| \leq M$, hvor $M$ er et reellt tall. Dersom det ikke eksisterer en slik $M$ betyr jo det at feilen kan være uendelig.
For å finne den største verdien den deriverte kan ta, er det bare å regne ut maksimum av

$ \hspace{1cm}
\left| f^{(n+1)}(s) \right| = \left| \frac{720}{(1+s)^7} \right|
$

En måte å finne maksimum er å igjen derivere uttrykket, finne maksimumspunktene å sammenlikne med endepunktene. Heldigvis er det ikke vanskelig å se
at funksjonen er synkende (hvorfor?) slik at maks fås ved å velge $s = -0.2$. Dermed så er $\left| f^{(n+1)}(s) \right| \leq |720/(1-1/5)^7|$. Herfra er det bare å sette inn
og velge den største $x$-verdien.

Mer generelt dersom vi rekkeutvikler en funksjon omkring $a$ på intervallet $(a-r, a+r)$ så er feilen maksimalt

$ \hspace{1cm}
|R_k(x)| \leq M \frac{|x-a|^{k+1}}{(k+1)!} \leq M\frac{r^{k+1}}{(k+1)!}
$

Hvor igjen $\left| f^{(n+1)}(s) \right| \leq M$. Egentlig er det bare å bruke formelen ovenfor men er greit å forstå litt om hvorfor det fungerer og.

Jeg prøvde svaret [tex]\frac{1}{437500}[/tex], men programmet godtok ikke det som riktig svar.
Jeg er også sikker på at jeg forstod det du også forklarte over.

Du vet du faktisk må regne litt selv og? Hadde du brukt hårfint mer tid ville du sett hvor jeg gjorde en slurvefeil $720 / ( 1 - 0.2)^7 \neq 900$.
Prøv å regn ut selv å se hva du får =)

Nebuchadnezzar wrote:Du vet du faktisk må regne litt selv og? Hadde du brukt hårfint mer tid ville du sett hvor jeg gjorde en slurvefeil $720 / ( 1 - 0.2)^7 \neq 900$.
Prøv å regn ut selv å se hva du får =)

Ja, altså, jeg spurte jo fordi jeg er veldig interessert i å forstå oppgaven, o hvor jeg feiler i tankegangen og utregningen min.
Det var langt i fra meningen å få deg eller noen andre til å gi meg alt mulig.
Når det gjelder slurvefeil, så er jeg VELDIG dårlig på å finne dem selv om jeg ser over noe nøye og opptil flere ganger. Det skjer hele tiden med meg.

Jeg føler at jeg forstår resonnementet mot slutten, med at

[tex]|f^{n+1}(s)|=|\frac{720}{(1+s)^7}|[/tex]

Jeg tror at jeg forstår også at vi velger s = -0.2

og kommer dermed videre til:

[tex]\frac{720}{(1-0.2)^7}=\frac{720}{0.8^7}=\frac{720}{(\frac{4}{5})^7}=3515625 / 1024[/tex]
Det er det jeg ender opp med nå, men det ser ikke ut til å stemme for meg.

Med mindre jeg kanskje må klinke til med en derivasjonen på funksjonen ovenfor?

Sytes det ser helt riktig ut jeg =) Så er det bare å regne ut $M \frac{|r|^{k+1}}{(k+1)!}$, hvor $M$ er
verdien du akkuratt regnet ut. $k=6$, $r = 0.2$ osv =)