matematikk.net

Hei,

kunne trengt litt hjelp med denne.

La f(x) = (1 + x2) cos x.

Finn Taylorpolynomet om x = 0 til f(x) av orden 6.

Takk

Skal være f(x)=(1+x^2)cos(x)

NOGJ wrote:Skal være f(x)=(1+x^2)cos(x)

Taylor polynomet er gitt ved formelen

[tex]\sum_ {n=0}^\infty \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n[/tex]
Bare sett grensen av summeringen til 6 og fyll inn i formelen for å finne polynomet. Om x=0 betyr at a=0 ettersom man finner Taylor polynom om punkt x=a.

Eksempel, Taylor polynom av 2. grad til f(x)=sin(x) om x=0:
[tex]\sum_ {n=0}^2 \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = \dfrac{f(0)}{0!}(x-0)^0 + \dfrac{f'(0)}{1!}(x-0)^1 + \dfrac{f''(0)}{2!}(x-0)^2 =f(0) + f'(0) \cdot x + \dfrac{f''(0)}{2!}\cdot x^2[/tex]
[tex]= sin(0) + cos(0)x - \dfrac{sin(0)}{2!}x^2 = 0 + x - 0 = x[/tex]

Hvor stopper du opp? Er det selve derivasjonen?

Generelt for Taylor polynomer har vi at:

[tex]P_{n}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}+...\frac{f^{(n)}(x)}{n!}(x-a)^n[/tex]

Når [tex]a=0[/tex] kalles dette en maclaurinrekke.

Okei, men er litt usikker når det kommer til at vi her har et produkt av (1+x^2) og cos(x). Vet hva Maclaurinrekka til cos(x) er, men hvordan løser jeg dette i forhold til (1+x^2)?

[tex]f'(x)= 2\cdot x\cdot \cos(x)-(1+x^2)\cdot \sin(x)[/tex]

[tex]f'(0)=0[/tex]

Osv..

Okei, betyr det at jeg rett og slett må derivere dette 6 ganger?

Har da kommet frem til dett:

P(x)= 1 + (x^2)/2 -(11x^4)/24 +(29x^6)/720

Ser det riktig ut?


Har da derivert 6 ganger. Er det den eneste veien å gå?