Hei
Har en oppgave i Calculus 1 jeg trenger litt hjelp med.
Taylorpolynom
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Klarte å trykke litt for tidlig gitt...
Men oppgaven jeg trenger hjelp med er en oppgave hvor jeg skal bruke kjente Maclaurin-formler for å finne et Taylorpolynom av 4. orden til [tex](sin(x))^2[/tex] om x=0. I tillegg får vi opplyst at relasjonen [tex](sin(x))^2=1-cos(2x))/(2)[/tex] er nyttig. Vi skal bruke Maclaurinformelen som sier at [tex]cos(x)=1-(x^2)/(2!)+(x^4)/(4!)-...[/tex] også videre.
Det jeg har gjort til nå er å løse den trigonometriske relasjonen for cos(2x), uten at jeg ser hva jeg skal gjøre videre. Noen forslag?
Men oppgaven jeg trenger hjelp med er en oppgave hvor jeg skal bruke kjente Maclaurin-formler for å finne et Taylorpolynom av 4. orden til [tex](sin(x))^2[/tex] om x=0. I tillegg får vi opplyst at relasjonen [tex](sin(x))^2=1-cos(2x))/(2)[/tex] er nyttig. Vi skal bruke Maclaurinformelen som sier at [tex]cos(x)=1-(x^2)/(2!)+(x^4)/(4!)-...[/tex] også videre.
Det jeg har gjort til nå er å løse den trigonometriske relasjonen for cos(2x), uten at jeg ser hva jeg skal gjøre videre. Noen forslag?
-
Andreas345
- Grothendieck
- Posts: 828
- Joined: 13/10-2007 00:33
Vi vet at [tex]\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot x^{2n}}{(2n)!}[/tex]
Følgelig blir [tex]\cos(2x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot (2x)^{2n}}{(2n)!}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot 2^{2n} \cdot x^{2n}}{(2n)!}[/tex]
Vi hadde at:
[tex]\sin^2(x)= \frac{1-\cos(2x)}{2}=\frac{1}{2}-\frac{\cos(2x)}{2}[/tex]
Velger å kun betrakte [tex]-\frac{\cos(2x)}{2}=\sum_{n=0}^{\infty}-\frac{1}{2} \cdot \frac{(-1)^n \cdot (2)^{2n} \cdot x^{2n}}{(2n)!}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \cdot 2^{2n-1} \cdot x^{2n}}{(2n)!}[/tex]
Observerer at første ledd er lik -1/2. Dermed kan vi flytte indeksen slik at vi får [tex]\sin^2(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \cdot 2^{2n-1} \cdot x^{2n}}{(2n)!}[/tex]
Følgelig blir [tex]\cos(2x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot (2x)^{2n}}{(2n)!}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot 2^{2n} \cdot x^{2n}}{(2n)!}[/tex]
Vi hadde at:
[tex]\sin^2(x)= \frac{1-\cos(2x)}{2}=\frac{1}{2}-\frac{\cos(2x)}{2}[/tex]
Velger å kun betrakte [tex]-\frac{\cos(2x)}{2}=\sum_{n=0}^{\infty}-\frac{1}{2} \cdot \frac{(-1)^n \cdot (2)^{2n} \cdot x^{2n}}{(2n)!}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \cdot 2^{2n-1} \cdot x^{2n}}{(2n)!}[/tex]
Observerer at første ledd er lik -1/2. Dermed kan vi flytte indeksen slik at vi får [tex]\sin^2(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \cdot 2^{2n-1} \cdot x^{2n}}{(2n)!}[/tex]