Open balls are closed
Posted: 14/10-2015 19:17
I'm back! 
Sitter helt fast på en oppgave som egentlig ikke er så vanskelig:
"Define a metric [tex]d[/tex] on [tex]\mathbb{R}[/tex] by [tex]d(x, y) = \frac {1}{\pi} |{\textrm{arctan}}(x) - {\textrm{arctan}}(y)|[/tex]
Show that the open unit ball in ([tex]\mathbb{R}[/tex], [tex]d[/tex]) is closed."
Jeg viste i øving 7 at [tex]d[/tex] må være en metric, fordi [tex]\textrm{arctan}(x)[/tex] er en injektiv funksjon. Så dette trengs ikke vises.
Det jeg har tenkt så langt er at hvis man velger en [tex]y \in \mathbb{R}[/tex] \ [tex]B_1 (x)[/tex] (komplementærsettet), hvor [tex]B_1(x)[/tex] er den åpne enhetsballen på ([tex]\mathbb{R}[/tex], [tex]d[/tex]), og viser ved f. eks. kontradiksjon at [tex]d(x, y) < 1[/tex] ved å ta utgangspunkt i den lukkede ballen [tex]\tilde{B_1} (y)[/tex], så må det bety at valget for [tex]y[/tex] ikke holder og at ballen på ([tex]\mathbb{R}[/tex], [tex]d[/tex]) derfor må være lukket. Problemet er at jeg får [tex]d(x, y) \geq 1[/tex] som er akkurat det en skulle forvente. Jeg kan sikkert vise mer utregninger hvis det trengs. Er ganske tom for ideer akkurat nå, så setter pris på innspill

Sitter helt fast på en oppgave som egentlig ikke er så vanskelig:
"Define a metric [tex]d[/tex] on [tex]\mathbb{R}[/tex] by [tex]d(x, y) = \frac {1}{\pi} |{\textrm{arctan}}(x) - {\textrm{arctan}}(y)|[/tex]
Show that the open unit ball in ([tex]\mathbb{R}[/tex], [tex]d[/tex]) is closed."
Jeg viste i øving 7 at [tex]d[/tex] må være en metric, fordi [tex]\textrm{arctan}(x)[/tex] er en injektiv funksjon. Så dette trengs ikke vises.
Det jeg har tenkt så langt er at hvis man velger en [tex]y \in \mathbb{R}[/tex] \ [tex]B_1 (x)[/tex] (komplementærsettet), hvor [tex]B_1(x)[/tex] er den åpne enhetsballen på ([tex]\mathbb{R}[/tex], [tex]d[/tex]), og viser ved f. eks. kontradiksjon at [tex]d(x, y) < 1[/tex] ved å ta utgangspunkt i den lukkede ballen [tex]\tilde{B_1} (y)[/tex], så må det bety at valget for [tex]y[/tex] ikke holder og at ballen på ([tex]\mathbb{R}[/tex], [tex]d[/tex]) derfor må være lukket. Problemet er at jeg får [tex]d(x, y) \geq 1[/tex] som er akkurat det en skulle forvente. Jeg kan sikkert vise mer utregninger hvis det trengs. Er ganske tom for ideer akkurat nå, så setter pris på innspill
