Integral - Bestemt

[Guest]

Hei!!

Regn ut integralet

[tex]\int_{-5}^{8}f(x)sin\left ( \frac{\pi }{2}x \right )dx[/tex]

når du får oppgitt at f(x) er en like-funksjon og [tex]f(x)=-8[/tex]
når[tex]x\geq 5[/tex]
Oppgi svaret som et eksakt reelt tall.

Hmh, jeg er usikker på hvordan jeg skal ta meg videre.

Men ut ifra det jeg vet, så er like-funksjonen slik at [tex]f(-x)=f(x)[/tex]

Og integralet for en like-funksjon over et intervall som er symmetrisk om null, er integralet gitt ved:

[tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx[/tex]

Og at vi kan dele opp integraler f. eks på denne måten:

[tex]\int_{a}^{c}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx[/tex]

Så jeg undres om vi kanskje bør skrive om integralet slik også?

Altså:

[tex]\int_{-5}^{8}f(x)sin\left ( \frac{\pi }{2}x \right )dx=\int_{-5}^{5}f(x)sin\left ( \frac{\pi }{2}x \right )dx+\int_{5}^{8}f(x)sin\left ( \frac{\pi }{2}x \right )dx[/tex]


I tillegg, har jeg et annet spørsmål:

Det er jo også slik at:

[tex]\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx[/tex]


Men hva hvis a er negativ, dvs. -a? Fjernes da dette fortegnet foran a'en når a'en blir øvre integrasjonsgrense?
Altså, blir det:

[tex]\int_{-a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx[/tex]

[Guest]

Videre har jeg prøvd følgende, som viser seg å være feil.

[tex]\int_{-5}^{8}f(x)sin\left ( \frac{\pi }{2}x \right )=\int_{-5}^{5}f(x)sin\left ( \frac{\pi }{2}x \right )+\int_{5}^{8}f(x)sin\left ( \frac{\pi }{2}x \right )[/tex]

Så tenkte jeg at [tex]\int_{-5}^{5}f(x)sin\left ( \frac{\pi }{2}x \right )=0[/tex]

fordi f(x) er en like-funksjon, mens sinus-funksjonen er en odde funksjon, og sammen danner de en odde-funksjon. Da vil det være slik at dette integralet er lik 0? Vet ikke, dette er sikkert feil, men jeg bare prøvde meg fram.

Og fortsatte slik:

[tex]\int_{5}^{8}f(x)sin\left ( \frac{\pi }{2}x \right )=f(x)\int_{5}^{8}sin\left ( \frac{\pi }{2}x \right )[/tex]

Nå, som dere ser, så har jeg satt f(x) utenfor. Grunne til det er at det er oppgitt i oppgaveteksten at f(x) = -8 hele tiden så lenge x er større eller lik 5. Da tenker jeg jo at siden vi skal integrere fra x = 5 og x = 8, så skal den være konstant lik -8. Men generelt vet jeg at man ikke kan sette en funksjon utenfor.

Så jeg kom videre til:

[tex]-8\int_{5}^{8}sin\left ( \frac{\pi }{2}x \right )=-8[-\frac{2}{\pi }cos\left ( \frac{\pi }{2}x \right )]_{8}^{5}[/tex]

[DennisChristensen]

$\begin{align*}\int_{-5}^{8} f(x)\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) dx & = \int_{-5}^{5}f(x)\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) dx + \int_{5}^{8}f(x)\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) dx \\
& = 0 + \int_{5}^{8}(-8)\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) dx \text{ (ettersom } f(x)\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) \text{ er en odde funksjon)} \\
& = -8\left[-\frac{2}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\right]_5^8 \\
& = \frac{16}{\pi}\left(1 - 0\right) \\
& = \frac{16}{\pi}\end{align*}$

Definisjonen $\int_b^a = -\int_a^b$ gjelder for alle $a,b \in \mathbb{R},$ uavhengig av fortegn.

[Guest]

$\begin{align*}\int_{-5}^{8} f(x)\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) dx & = \int_{-5}^{5}f(x)\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) dx + \int_{5}^{8}f(x)\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) dx \\
& = 0 + \int_{5}^{8}(-8)\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) dx \text{ (ettersom } f(x)\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) \text{ er en odde funksjon)} \\
& = -8\left[-\frac{2}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)\right]_5^8 \\
& = \frac{16}{\pi}\left(1 - 0\right) \\
& = \frac{16}{\pi}\end{align*}$

Definisjonen $\int_b^a = -\int_a^b$ gjelder for alle $a,b \in \mathbb{R},$ uavhengig av fortegn.

Tusen takk. Etter det jeg kan se,
så var jeg faktisk nærme???