matematikk.net

hei
Jeg sliter med følgende oppgave:
f= x*e^(x)

Jeg skal vise at g'(x) = (g(x))/ (x*(g(x)+1))

Jeg er rett og sltten helt tom for ideer om hvordan jeg kommer fram til svaret.

hva er g? den inverse til f, [tex]f^{-1}[/tex]?

Janhaa wrote:hva er g? den inverse til f, [tex]f^{-1}[/tex]?

g er den inverse til f, ja.

Vi har at $f'(x) = e^x + xe^x = e^x(1+x)$ eksisterer, er kontinuerlig og er ikke lik null for alle $x \in \mathbb{R} \backslash\{-1\} $. Omvendt funksjonsteorem gir at
$\forall x \in \mathbb{R}\backslash\{-1\}, g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$, der $y = f(x) = xe^x$ og $x = f^{-1}(y) = g(y)$.

$\therefore \forall y \in \mathbb{R}\backslash\{f(-1)\} = \mathbb{R}\backslash\{-e^{-1}\},\text{ } g'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{e^x + xe^x} = \frac{1}{e^x + y} = \frac{x}{xe^x + xy} = \frac{x}{y + xy} = \frac{x}{y(1+x)} = \frac{g(y)}{y(g(y) + 1)}$

Så $\forall x \in \mathbb{R}\backslash\{-e^{-1}\}, \text{ } g(x) = \frac{g(x)}{x(g(x) + 1)}$, hvilket skulle vises.