matematikk.net

Har fått en ... annerledes oppgave.

Beregn linjeintegralet


Vi har arbeidet en del med linjeintegral som ikke er i polare koordinater.
Hvordan gjør man denne? (stegvis)

Hvis du skriver hær blir jeg å svare - selv om jeg ikke er registrert. Det viktige er at jeg forstår hvordan man kommer fra A til Å, og det meste går fint - men ikke denne oppgaven!

Bump

Når du stiller spørsmål her som er hårfint over trivielt er det viktig at du selv viser hva du har prøvd og tenkt.
Du skal lete lenge etter personer som ønsker å bruke 30 minutter på å gjøre oppgaven for deg.

Legg merke til at

$\frac{F_1}{dy} - \frac{F_2}{dx} = 0$

Med andre ord så er feltet ditt konservativt. Da trenger du bare å finne potensialfunksjonen for å beregne integralet ditt.
Har dere lært hvordan dere finner potensialet til et konservativt felt?

Hvordan vet du at dette er konservativt?

Når du får et så stygt uttrykk har du to i realiteten to måter å beregne det på. Enten kan en se at det blir null ut i fra symmetri, eller så er det konservativt.
Du vil aldri få noe annet på eksamen eller øvinger.

Det enkleste er å sjekke at $F_1/\mathrm{d}y = F_2 / \mathrm{d}x$. Selv om dette stemmer betyr det ikke nødvendigvis at et slikt potensial
eksisterer. Men det er jo bare å finne en funksjon $f(x,y)$ slik at $\mathrm{d}f / \mathrm{d}x = F_1$ og $\mathrm{d}f / \mathrm{d}y = F_2$.

Å vise at et potensialet eksisterer uten å faktisk finne det er noe vanskeligere. Men det er egentlig ikke relevant siden du uansett må finne det for å løse oppgaven.
Men i praksis så lenge $F$ er pen nok (glatt, uten hull) og $F_1/\mathrm{d}y = F_2 / \mathrm{d}x$ så vil det alltid eksistere et potensial. Mer formelt har en følgende teorem.

Let $ F = P \vec{i} + Q \vec{j}$ be a vector field on an open and simply-connected region $D$. Then if $P$ and $Q$ have continuous first order partial derivatives in $D$ and

$ \hspace{1cm}
\frac{F_1}{\mathrm{d}y} = \frac{F_2}{\mathrm{d}x}
$

the vector field is conservative.

Jeg pleide å bruke Pauls Online Math Notes når jeg hadde Calculus.

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/ ... Field.aspx