Deriverte av invers funksjon
Posted: 28/10-2015 20:34
Har denne oppgaven:
La $x = g(y)$ være inversen til $y = f(x)$ ... Da er $ x = g(f(x))$ .. bruk dette til å vise at:
$\frac{dg}{dy}(f(x)) = \frac{1}{\frac{df}{dx}(x)}$, og
$\frac{d^{2}g}{dy^{2}}(f(x)) = -\frac{\frac{d^{2}f}{dx^{2}}(x)}{(\frac{df}{dx}(x))^{3}}$
Så jeg synes notasjonen er litt forvirrende, men dette har jeg prøvd:
Benytter meg av formelen $\frac{d}{dx}f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
Da blir: $\frac{dg}{dx}(f(x)) = \frac{1}{\frac{df}{dx}(g(y))} = \frac{1}{\frac{df}{dx}(x)}$
Så vidt jeg forstår skal jeg derivere igjen.. da får jeg vha. kjerneregelen:
$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{\frac{df}{dx}g(y)}\right] = \frac{-\left[\frac{df}{dx}g(y) + y*g(y)'\right]}{\left[\frac{df}{dx}g(y)\right]^{2}} = \frac{-\left[\frac{df}{dx}g(y) + y\left[\frac{1}{\frac{df}{dx}g(y)}\right] \right]}{\left[\frac{df}{dx}g(y)\right]^{2}} = \frac{-\left[\frac{(\frac{df}{dx}g(y))^{2} + y}{\frac{df}{dx}g(y)}\right]}{\left[\frac{df}{dx}g(y)\right]^{2}} = \frac{-\left[\left(\frac{df}{dx}g(y)\right)^{2} + y\right]}{\left[\frac{df}{dx}g(y)\right]^{3}}$
$= \frac{-\left[\left(\frac{df}{dx}(x)\right)^{2} + y\right]}{\left[\frac{df}{dx}(x)\right]^{3}}$
sorry at det ser stygt ut, håper det ikke er for stygt?. Jeg får altså ikke det samme resultatet som dere ser. Hvor går jeg feil?
La $x = g(y)$ være inversen til $y = f(x)$ ... Da er $ x = g(f(x))$ .. bruk dette til å vise at:
$\frac{dg}{dy}(f(x)) = \frac{1}{\frac{df}{dx}(x)}$, og
$\frac{d^{2}g}{dy^{2}}(f(x)) = -\frac{\frac{d^{2}f}{dx^{2}}(x)}{(\frac{df}{dx}(x))^{3}}$
Så jeg synes notasjonen er litt forvirrende, men dette har jeg prøvd:
Benytter meg av formelen $\frac{d}{dx}f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$
Da blir: $\frac{dg}{dx}(f(x)) = \frac{1}{\frac{df}{dx}(g(y))} = \frac{1}{\frac{df}{dx}(x)}$
Så vidt jeg forstår skal jeg derivere igjen.. da får jeg vha. kjerneregelen:
$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{\frac{df}{dx}g(y)}\right] = \frac{-\left[\frac{df}{dx}g(y) + y*g(y)'\right]}{\left[\frac{df}{dx}g(y)\right]^{2}} = \frac{-\left[\frac{df}{dx}g(y) + y\left[\frac{1}{\frac{df}{dx}g(y)}\right] \right]}{\left[\frac{df}{dx}g(y)\right]^{2}} = \frac{-\left[\frac{(\frac{df}{dx}g(y))^{2} + y}{\frac{df}{dx}g(y)}\right]}{\left[\frac{df}{dx}g(y)\right]^{2}} = \frac{-\left[\left(\frac{df}{dx}g(y)\right)^{2} + y\right]}{\left[\frac{df}{dx}g(y)\right]^{3}}$
$= \frac{-\left[\left(\frac{df}{dx}(x)\right)^{2} + y\right]}{\left[\frac{df}{dx}(x)\right]^{3}}$
sorry at det ser stygt ut, håper det ikke er for stygt?. Jeg får altså ikke det samme resultatet som dere ser. Hvor går jeg feil?